Liczba bramek strzelona w jednostce czasu \(\displaystyle{ t}\) - minut przez drużynę piłkarską jest przybliżona rozkładem Poissona ze średnią równą \(\displaystyle{ \frac{t}{36}}\).
a.) Wyznacz prawdopodobieństwo, że w czasie \(\displaystyle{ t}\) - minut nie padła żadna bramka
b.) Niech nowa zmienna losowa \(\displaystyle{ T}\) oznacza długość czasu w minutach pomiędzy kolejnymi bramkami. Wykazać, że tak określona zmienna losowa ma rozkład wykładniczy.
Podpunk pierwszy jest łatwy, gorzej z tym drugim.
Rozkład Poissona, a rozkład wykładniczy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozkład Poissona, a rozkład wykładniczy
b)
Skorzystamy z następującego stwierdzenia.
" Dla rozkładu Poissona, odstęp czasu między kolejnymi strzelonymi bramkami ma rozkład wykładniczy".
Dowód
Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ T }\) o rozkładzie Poissona:
\(\displaystyle{ P(\{T = n \}) = \frac{\lambda^{n}}{n!} e ^{-\lambda}, \ \ \lambda = \frac{t}{36}.}\)
\(\displaystyle{ F_{T}(t) = P(\{T< t\}) = 1 - P(\{T \geq t\}) = 1 - P(\{T = 0\}) = 1 - P_{0}(t) = 1 - \frac{\lambda^{0} }{0!}e^{-\lambda} = 1 - e^{-\lambda} = 1 - e^{-\frac{t}{36}}. }\)
c.b.d.o.
Uwagi
Zauważmy, że \(\displaystyle{ P_{0}(t) }\) jest prawdopodobieństwem, że w czasie \(\displaystyle{ t - }\) minut nie padła żadna bramka.
Rozkład wykładniczy jest jedynym ciągłym rozkładem o własności braku pamięci, więc twierdzenie odwrotne do powyższego stwierdzenia
jest również prawdziwe.
Skorzystamy z następującego stwierdzenia.
" Dla rozkładu Poissona, odstęp czasu między kolejnymi strzelonymi bramkami ma rozkład wykładniczy".
Dowód
Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ T }\) o rozkładzie Poissona:
\(\displaystyle{ P(\{T = n \}) = \frac{\lambda^{n}}{n!} e ^{-\lambda}, \ \ \lambda = \frac{t}{36}.}\)
\(\displaystyle{ F_{T}(t) = P(\{T< t\}) = 1 - P(\{T \geq t\}) = 1 - P(\{T = 0\}) = 1 - P_{0}(t) = 1 - \frac{\lambda^{0} }{0!}e^{-\lambda} = 1 - e^{-\lambda} = 1 - e^{-\frac{t}{36}}. }\)
c.b.d.o.
Uwagi
Zauważmy, że \(\displaystyle{ P_{0}(t) }\) jest prawdopodobieństwem, że w czasie \(\displaystyle{ t - }\) minut nie padła żadna bramka.
Rozkład wykładniczy jest jedynym ciągłym rozkładem o własności braku pamięci, więc twierdzenie odwrotne do powyższego stwierdzenia
jest również prawdziwe.