Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
preludin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 12 lis 2019, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: preludin »

1. Pewien gatunek bawełny zawiera 75% włókien o długości mniejszej niż 45
mm, zaś 25% włókien ma długość większą niż 45 mm. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że spośród trzech losowo wybranych włókien: a) żadne nie
będzie krótsze niż 45 mm, b) jedno będzie krótsze niż 45 mm, c) dwa będą
krótsze niż 45 mm.

2. Zakład rzemieślniczy dostarcza pantofle w skrzyniach zawierających po 100
par. Losujemy dwie pary i poddajemy próbie. Towar jest przyjęty, jeśli obie pary
są dobre. Jeśli jedna para jest dobra, a druga zła, to losujemy trzecią parę; w
przypadku gdy jest dobra, towar zostaje przyjęty, w przeciwnym przypadku jest
odrzucony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że towar zostanie przyjęty, jeśli w
skrzyni jest 5 par wadliwych?

3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 1000 żarówek nie ma ani jednej
wadliwej, jeżeli wśród losowo wybranych 100 żarówek wszystkie okazały się
dobrymi. Zakładamy, że liczba możliwych wadliwych żarówek wśród 1000 jest
którąkolwiek z liczb od 0 do 5 z jednakowym prawdopodobieństwem.

4. W pewnej fabryce dział kontroli sprawdza jakość wyrobów.
Prawdopodobieństwo, że wyrób jest I gatunku wynosi 0,9. Każde opakowanie
zawiera ich 4 sztuki. Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby opakowań, w których
trzy wyroby będą I gatunku, gdyby sprawdzano 100 opakowań.

Dodano po 19 godzinach 53 minutach 47 sekundach:
Ktoś jest w stanie cokolwiek podpowiedzieć do któregokolwiek zadania?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: janusz47 »

Zadanie 1[/b]

\(\displaystyle{ P(\{ d < 45 mm\} ) =...}\)

\(\displaystyle{ P(\{ d> 45 mm\}) = ...}\)

a)
\(\displaystyle{ P_{3}( \{d > 45 mm \}) = {3\choose 3} \left( ...\right)^0 \cdot \left( ...\right)^3=... }\)

b)
\(\displaystyle{ P_{1}( \{d < 45 mm \}) = {3\choose 1} \left( ...\right)^1 \cdot \left( ...\right)^2=... }\)

c)
\(\displaystyle{ P_{2}( \{d < 45 mm \}) = {3\choose 2} \left( ...\right)^2 \cdot \left( ...\right)^1=... }\)

Zadanie 2

Oznaczenie zdarzeń:

\(\displaystyle{ T_{+} }\) - "towar zostanie przyjęty"

\(\displaystyle{ d }\) = " wylosowana sztuka towaru jest dobra"

\(\displaystyle{ z }\) = " wylosowana sztuka towaru jest zła"

\(\displaystyle{ P(T_{+}) = P(\{(d,d)\} + P(\{(d,z)\})\cdot P(\{(d |d)\}) }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ P(\{(d,d)\} =..., \ \ P(\{(d,b)\})=..., \ \ P(\{(d |d)\}) = ..., }\)

Zadanie 3

\(\displaystyle{ N }\) - zdarzenie " wśród tysiąca żarówek nie ma ani jednej żarówki wadliwej"

\(\displaystyle{ P(N) = \bigcap_{k=0}^{5} \left( 1-\frac{k}{900} \right) }\)

Zadanie 4

\(\displaystyle{ p_{i} = {4\choose 3}\cdot (...)^3 \cdot (...)^1, \ \ i = 1,2,...,100.}\)

Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=1}^{100}x_{i}\cdot p_{i} }\)

Dodano po 1 godzinie 27 minutach 42 sekundach:
Zadanie 3

Jeśli przyjmiemy z treści doświadczenie losowe dwuetapowe:

-wylosowanie \(\displaystyle{ 100 }\) sztuk towaru spośród \(\displaystyle{ 1000}\) - etap I

- pięciokrotne kolejne losowanie \(\displaystyle{ 1 }\) sztuki towaru spośród pozostałych \(\displaystyle{ 900 }\) sztuk - etap II

to

\(\displaystyle{ P(N) = \frac{100}{1000} \sum_{k=0}^{5} \left(1 - \frac{k}{900 -k}\right) =... }\)

Dodano po 46 minutach 48 sekundach:
Korekta

\(\displaystyle{ P(N) = \frac{100}{1000}\sum_{k=0}^{5} \left( 1 - \frac{1}{900 -k} \right)=... }\)
ODPOWIEDZ