Pomoc z zadaniem (rękawiczki)

[szabernik]

Jest \(\displaystyle{ 5}\) różnych par rękawiczek. Trzy osoby w losowy sposób wybierają po jednej lewej i jednej prawej rękawiczce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna z tych osób nie dostanie pary.

Nie jestem pewny czy da się zrobić to wprost czy trzeba używać wzoru włączeń i wyłączeń? Proszę o pomoc i z góry dziekuję!

[janusz47]

Doświadczenie losowe D polega na losowaniu pary rękawiczek przez trzy osoby.

Oznaczenie zdarzeń:

\(\displaystyle{ O_{i}, \ \ i=1,2,3 }\) - osoba \(\displaystyle{ O_{i} }\) - wylosowała parę rękawiczek.

\(\displaystyle{ \overline{O} }\) - żadna z trzech osób nie wylosowała pary rękawiczek

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego

\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - P(O_{1} \cup O_{2} \cup O_{3}) }\)

Z Zasady Włączeń i Wyłączeń

i równości prawdopodobieństw zdarzeń:

\(\displaystyle{ P(O_{1})= P(O_{2})= P(O_{3}), \ \ P(O_{1} \cap O_{2}) =P(O_{1} \cap O_{3}) = P(O_{2} \cap O_{3}), }\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3P(O_{1}) + 3P(O_{1} \cap O_{2}) - P(O_{1} \cap O_{2} \cap O_{3}). }\)

Uwzględniając wzór na iloczyn zdarzeń

\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3P(O_{1}) + 3P(O_{2} | O_{1}) \cdot P(O_{1}) - P(O_{3}|O_{1} \cap O_{2})\cdot P(O_{2}|O_{1})\cdot P(O_{1}) }\)

\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3\cdot \frac{1}{5} + 3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5} = \frac{60}{60} - \frac{36}{60} + \frac{9}{60} - \frac{1}{60} = \frac{32}{60} = \frac{8}{15}.}\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

W wyniku realizacji doświadczenia \(\displaystyle{ D, }\) należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 53\% }\) ogólnej liczbie jego wyników, żadna z trzech osób nie wylosowała pary rękawiczek.

[Gosda]

Można też tak: niech rękawiczki będą w kolorach A, B, C, D, E. Załóżmy, że każda osoba wzięła już lewą rękawiczkę: pierwsza A, druga B, trzecia C. Liczymy, ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{A,B,C,D,E\}}\) takich, że na pierwszym miejscu nie ma \(\displaystyle{ A}\), na drugim nie ma \(\displaystyle{ B}\), na trzecim nie ma \(\displaystyle{ C}\) (spośród wszystkich stu dwudziestu). Wynik wyjdzie, oczywiście, ten sam.

[janusz47]

Nie ma takiego doświadczenia losowego " załóżmy, że każda osoba wzięła już lewą rękawiczkę". Doświadczenie losowe \(\displaystyle{ D }\) opisane w tym zadaniu jest określone jednoznacznie " każda z trzech osób losuje jedną parę rękawiczek ". Więc nie możemy modelować Pańskiego doświadczenia. Proszę pamiętać, że budujemy modele doświadczeń losowych zgodnych z treścią zadań.