Jest \(\displaystyle{ 5}\) różnych par rękawiczek. Trzy osoby w losowy sposób wybierają po jednej lewej i jednej prawej rękawiczce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna z tych osób nie dostanie pary.
Nie jestem pewny czy da się zrobić to wprost czy trzeba używać wzoru włączeń i wyłączeń? Proszę o pomoc i z góry dziekuję!
Pomoc z zadaniem (rękawiczki)
Pomoc z zadaniem (rękawiczki)
Ostatnio zmieniony 11 lis 2019, o 17:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pomoc z zadaniem (rękawiczki)
Doświadczenie losowe D polega na losowaniu pary rękawiczek przez trzy osoby.
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ O_{i}, \ \ i=1,2,3 }\) - osoba \(\displaystyle{ O_{i} }\) - wylosowała parę rękawiczek.
\(\displaystyle{ \overline{O} }\) - żadna z trzech osób nie wylosowała pary rękawiczek
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - P(O_{1} \cup O_{2} \cup O_{3}) }\)
Z Zasady Włączeń i Wyłączeń
i równości prawdopodobieństw zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(O_{1})= P(O_{2})= P(O_{3}), \ \ P(O_{1} \cap O_{2}) =P(O_{1} \cap O_{3}) = P(O_{2} \cap O_{3}), }\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3P(O_{1}) + 3P(O_{1} \cap O_{2}) - P(O_{1} \cap O_{2} \cap O_{3}). }\)
Uwzględniając wzór na iloczyn zdarzeń
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3P(O_{1}) + 3P(O_{2} | O_{1}) \cdot P(O_{1}) - P(O_{3}|O_{1} \cap O_{2})\cdot P(O_{2}|O_{1})\cdot P(O_{1}) }\)
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3\cdot \frac{1}{5} + 3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5} = \frac{60}{60} - \frac{36}{60} + \frac{9}{60} - \frac{1}{60} = \frac{32}{60} = \frac{8}{15}.}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
W wyniku realizacji doświadczenia \(\displaystyle{ D, }\) należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 53\% }\) ogólnej liczbie jego wyników, żadna z trzech osób nie wylosowała pary rękawiczek.
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ O_{i}, \ \ i=1,2,3 }\) - osoba \(\displaystyle{ O_{i} }\) - wylosowała parę rękawiczek.
\(\displaystyle{ \overline{O} }\) - żadna z trzech osób nie wylosowała pary rękawiczek
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - P(O_{1} \cup O_{2} \cup O_{3}) }\)
Z Zasady Włączeń i Wyłączeń
i równości prawdopodobieństw zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(O_{1})= P(O_{2})= P(O_{3}), \ \ P(O_{1} \cap O_{2}) =P(O_{1} \cap O_{3}) = P(O_{2} \cap O_{3}), }\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3P(O_{1}) + 3P(O_{1} \cap O_{2}) - P(O_{1} \cap O_{2} \cap O_{3}). }\)
Uwzględniając wzór na iloczyn zdarzeń
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3P(O_{1}) + 3P(O_{2} | O_{1}) \cdot P(O_{1}) - P(O_{3}|O_{1} \cap O_{2})\cdot P(O_{2}|O_{1})\cdot P(O_{1}) }\)
\(\displaystyle{ P(\overline{O}) = 1 - 3\cdot \frac{1}{5} + 3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5} = \frac{60}{60} - \frac{36}{60} + \frac{9}{60} - \frac{1}{60} = \frac{32}{60} = \frac{8}{15}.}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
W wyniku realizacji doświadczenia \(\displaystyle{ D, }\) należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 53\% }\) ogólnej liczbie jego wyników, żadna z trzech osób nie wylosowała pary rękawiczek.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Pomoc z zadaniem (rękawiczki)
Można też tak: niech rękawiczki będą w kolorach A, B, C, D, E. Załóżmy, że każda osoba wzięła już lewą rękawiczkę: pierwsza A, druga B, trzecia C. Liczymy, ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{A,B,C,D,E\}}\) takich, że na pierwszym miejscu nie ma \(\displaystyle{ A}\), na drugim nie ma \(\displaystyle{ B}\), na trzecim nie ma \(\displaystyle{ C}\) (spośród wszystkich stu dwudziestu). Wynik wyjdzie, oczywiście, ten sam.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pomoc z zadaniem (rękawiczki)
Nie ma takiego doświadczenia losowego " załóżmy, że każda osoba wzięła już lewą rękawiczkę". Doświadczenie losowe \(\displaystyle{ D }\) opisane w tym zadaniu jest określone jednoznacznie " każda z trzech osób losuje jedną parę rękawiczek ". Więc nie możemy modelować Pańskiego doświadczenia. Proszę pamiętać, że budujemy modele doświadczeń losowych zgodnych z treścią zadań.