Warunkowa wartość oczekiwana

[Nietoperz]

Witam proszę o pomoc z rozwiązaniem tego zadania (najlepiej rozwiązanie pkt. a) a ja spróbowałbym b):
\(\displaystyle{ \Omega=[0,1]\times[0,1]}\), \(\displaystyle{ \mathbb{P} }\) - miara Lebesque'a na tej przestrzeni. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}(f|G)}\) gdy
1. \(\displaystyle{ f(x,y)=x, G=\sigma(y)}\)
2. \(\displaystyle{ f(x,y)=x-y, G=\sigma(x+y)}\)

[matmatmm]

Cóż to jest \(\displaystyle{ \sigma(y)}\) ?

[Nietoperz]

Odświeżam zadanie, też nie bardzo rozumiem jak interpretować ten zapis. Ktoś pomoże? Chodzi o sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ y}\), ale jak ono wygląda?

[janusz47]

1)

\(\displaystyle{ G = \sigma(y) }\) jest to G - sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ y }\)

\(\displaystyle{ \sigma(y) = y. }\)

Korzystamy z definicji warunkowej wartości oczekiwanej

\(\displaystyle{ E(X|Y) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot h (x|Y)dx. }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{0}^{1}f(x,y) dx = \int_{0}^{1} xdx = \frac{1}{2}. }\)

\(\displaystyle{ h(x|y) = \frac{f_{Y}(x,y)}{f_{Y}(y)} = \frac{x}{\frac{1}{2}} = 2x.}\)

\(\displaystyle{ E(F|G) = \int_{0}^{1} x\cdot h(x|y) dx = \int_{0}^{1} x\cdot 2x dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx= \frac{2}{3}.}\)

2) - podobnie

[a4karo]

1)

\(\displaystyle{ G = \sigma(y) }\) jest to G - sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ y }\)

\(\displaystyle{ \sigma(y) = y. }\)

Jak na moje wykształcenie, to stąd wynika, że \(G=y\), czyli że sigma ciało to liczba.

[janusz47]

To zmienna \(\displaystyle{ Y. }\)

Dokładniej jest to \(\displaystyle{ \sigma }\) ciało reprezentowane przez zmienną \(\displaystyle{ y.}\)

[Nietoperz]

Jak to będzie szło w drugim przypadku? Bo nie bardzo wiem co tutaj się zmieni bo w pierwszym podpunkcie były bardzo proste dane.
Teraz \(\displaystyle{ \sigma (x+y)=x+y}\)? Bo nie wiem jak to interpretować
Wszedzie gdzie jest \(\displaystyle{ y}\) mam wstawiać \(\displaystyle{ x+y}\)?

Dodano po 1 godzinie 1 minucie 22 sekundach:
I w tym pierwszym w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) więc coś jest źle

[janusz47]

Powinno być wtedy

\(\displaystyle{ f(x,y) = y }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{0}^{1} y dx = y\cdot x|_{0}^{1} = y}\)

\(\displaystyle{ h(x|y) = \frac{f_{X}(x,y)}{f_{Y}(y)} = \frac{y}{y} = 1 }\)

\(\displaystyle{ E(f|G) = E(X|Y) = \int_{0}^{1} x\cdot h(x,y) dx = \int_{0}^{1} x\cdot 1 dx = \frac{1}{2}. }\)

[Nietoperz]

Powinno być wtedy

\(\displaystyle{ f(x,y) = y }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{0}^{1} y dx = y\cdot x|_{0}^{1} = y}\)

\(\displaystyle{ h(x|y) = \frac{f_{X}(x,y)}{f_{Y}(y)} = \frac{y}{y} = 1 }\)

\(\displaystyle{ E(f|G) = E(X|Y) = \int_{0}^{1} x\cdot h(x,y) dx = \int_{0}^{1} x\cdot 1 dx = \frac{1}{2}. }\)

To jak to będzie wyglądać w drugim przypadku? Jak wygląda \(\displaystyle{ \sigma(x+y)}\)?
Robiłem tak:
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_0^1 x-y dx=\frac{1}{2}-y}\)
\(\displaystyle{ h(x,y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{x-y}{\frac{1}{2}-y}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(f|G)=\int_0^1 (x-y)\cdot\frac{x-y}{\frac{1}{2}-y} }\)

Tylko nie wiem co wstawić za \(\displaystyle{ y}\) i czy w ogole do tej pory dobrze robilem:(

[janusz47]

Rozpocząłeś dobrze.

\(\displaystyle{ \sigma(x + y) }\) jest sigma ciałem generowanym przez sumę zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y. }\)

W tym przypadku musimy całkować po kwadracie \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]. }\) Dopisz jeszcze jedną całkę wewnętrzną w granicach od \(\displaystyle{ 0, }\) do \(\displaystyle{ 1}\) względem zmiennej \(\displaystyle{ y. }\) Uporządkuj mianownik. Przedstaw warunkową wartość oczekiwaną jako różnicę dwóch całek podwójnych.

W Twojej całce na gęstość brzegową zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y \ \ f_{Y}(y) }\) brakuje nawiasu \(\displaystyle{ (x-y). }\)

[Nietoperz]

No ok to mam:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(f|G)=\int_0^1( \int_0^1 (x-y)\cdot\frac{x-y}{\frac{1}{2}-y}dy }) dx}\) ale nie wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) a tak ma wyjść. Co rozumiesz przez uporządkowanie mianownika?

[janusz47]

Przez uporządkowanie mianownika" - miałem na myśli zapisanie funkcji podcałkowej w postaci

\(\displaystyle{ h(x|y) = \frac{2(x -y)}{1-2y}. }\)

Wartość \(\displaystyle{ E(f|G) = E(X|Y) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{2x(x -y)}{1-2y}dydx =... }\) proszę obliczyć tą całkę.

( w miejsce \(\displaystyle{ x- y }\) podstawiamy zgodnie z definicją warunkowej wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ x}\)
Funkcję łącznej gęstości \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) }\) wykorzystujemy w obliczeniu gęstości warunkowej \(\displaystyle{ h(x|y). }\)

Z jakiego zbioru zadań korzystasz?

[Nietoperz]

Przez uporządkowanie mianownika" - miałem na myśli zapisanie funkcji podcałkowej w postaci

\(\displaystyle{ h(x|y) = \frac{2(x -y)}{1-2y}. }\)

Wartość \(\displaystyle{ E(f|G) = E(X|Y) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{2x(x -y)}{1-2y}dydx =... }\) proszę obliczyć tą całkę.

( w miejsce \(\displaystyle{ x- y }\) podstawiamy zgodnie z definicją warunkowej wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ x}\)
Funkcję łącznej gęstości \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) }\) wykorzystujemy w obliczeniu gęstości warunkowej \(\displaystyle{ h(x|y). }\)

Z jakiego zbioru zadań korzystasz?

Ze Sztencla. Podana całka jest rozbieżna

[janusz47]

Korzystamy z własności warunkowej wartości oczekiwanej względem \(\displaystyle{ \sigma }\) ciała

- addytywości

\(\displaystyle{ E(f|\mathcal{G}) = E( x - y | x+y) = E(x|x+y) - E( y |x+y) \ \ (1)}\)

-symetryczności

\(\displaystyle{ E(x|x+y ) = E(y|x+y ) }\)

Dowód

Niech \(\displaystyle{ x+y = z}\)

wtedy

\(\displaystyle{ E(x|x+y =z) = E(y|x+y =z)}\)

i

\(\displaystyle{ E(x|x+y =z) + E(y|x+y = z) = E(x+y|x+y =z) = z }\)

Stąd

\(\displaystyle{ E(x|x+y=z) = E(y|x+y=z) = \frac{z}{2} \ \ (2) }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (2), (1) }\)

\(\displaystyle{ E(f|\mathcal{G}) = E( x - y | x+y) = E(x|x+y) - E( y |x+y) = \frac{z}{2} - \frac{z}{2} = 0.}\)