1) Każdego dnia, w chwili otwarcia, sklep ma stały zapas towaru A. Zakładamy, że liczba sprzedanych towarów A w każdym dniu jest zmienną losową o rozkładzie Poissona o wartości parametru \(\displaystyle{ λ =2}\). Jaki minimalny zapas towaru A powinien utrzymywać sklep, aby co najwyżej raz na \(\displaystyle{ 10}\) dni zabrakło go w sklepie?
2) Jeden procent samochodów ma niesprawne tylne światła. Ile samochodów trzeba zbadać, żeby prawdopodobieństwo znalezienia przynajmniej jednego z niesprawnymi światłami wynosiło przynajmniej \(\displaystyle{ 0,5}\)?
Twierdzenie Poissona
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Twierdzenie Poissona
Ostatnio zmieniony 7 lis 2019, o 00:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Twierdzenie Poissona
Zadanie 1
\(\displaystyle{ A \sim Poisson ( k, 2) , \ \ k = 0, 1, 2,... }\)
\(\displaystyle{ X \sim Poisson ( k, \lambda), \ \ k = 0, 1, 2,... }\)
Zabraknie towaru co najwyżej jeden raz na \(\displaystyle{ 10 }\) dni, gdy
\(\displaystyle{ P( \{X > 2\}) \leq \frac{1}{10} }\)
\(\displaystyle{ 1 - P(\{ X \leq 2\}) \leq \frac{1}{10} }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \leq 2\}) \geq \frac{9}{10} }\)
\(\displaystyle{ P(\{X=0\}) + P(\{X=1\} + P(\{X+2\}) \geq \frac{9}{10}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{\lambda^{0}}{0!} e^{-\lambda} + \frac{\lambda^{1}}{1!}e^{-\lambda} + \frac{\lambda^{2}}{2!} e^{-\lambda} \geq \frac{9}{10}.}\)
\(\displaystyle{ \lambda \leq 1,1.}\)
\(\displaystyle{ n\cdot \frac{1}{10} \geq 1,1.}\)
\(\displaystyle{ n \geq 11.}\)
Odpowiedź: minimalny zapas , który powinien utrzymywać sklep to \(\displaystyle{ 11 }\) sztuk towaru \(\displaystyle{ A. }\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ p = 0,01 }\)
\(\displaystyle{ X \sim Poisson ( k, \ \ 0,01\cdot n), \ \ k= 0,1,2,...}\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \geq 1\}) \geq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ 1 - P(\{X <1\}) \geq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 0\}) \leq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\lambda^{0}}{0!} e^{-\lambda} \leq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{e^{\lambda}} \leq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ e^{\lambda} \geq 2 }\)
\(\displaystyle{ \lambda \geq \ln(2) \approx 0,70 }\)
\(\displaystyle{ n\cdot 0,01 \geq 0,70, \ \ n \geq 70. }\)
Odpowiedź: trzeba zbadać co najmniej \(\displaystyle{ 70 }\) samochodów.
\(\displaystyle{ A \sim Poisson ( k, 2) , \ \ k = 0, 1, 2,... }\)
\(\displaystyle{ X \sim Poisson ( k, \lambda), \ \ k = 0, 1, 2,... }\)
Zabraknie towaru co najwyżej jeden raz na \(\displaystyle{ 10 }\) dni, gdy
\(\displaystyle{ P( \{X > 2\}) \leq \frac{1}{10} }\)
\(\displaystyle{ 1 - P(\{ X \leq 2\}) \leq \frac{1}{10} }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \leq 2\}) \geq \frac{9}{10} }\)
\(\displaystyle{ P(\{X=0\}) + P(\{X=1\} + P(\{X+2\}) \geq \frac{9}{10}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{\lambda^{0}}{0!} e^{-\lambda} + \frac{\lambda^{1}}{1!}e^{-\lambda} + \frac{\lambda^{2}}{2!} e^{-\lambda} \geq \frac{9}{10}.}\)
\(\displaystyle{ \lambda \leq 1,1.}\)
\(\displaystyle{ n\cdot \frac{1}{10} \geq 1,1.}\)
\(\displaystyle{ n \geq 11.}\)
Odpowiedź: minimalny zapas , który powinien utrzymywać sklep to \(\displaystyle{ 11 }\) sztuk towaru \(\displaystyle{ A. }\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ p = 0,01 }\)
\(\displaystyle{ X \sim Poisson ( k, \ \ 0,01\cdot n), \ \ k= 0,1,2,...}\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \geq 1\}) \geq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ 1 - P(\{X <1\}) \geq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 0\}) \leq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\lambda^{0}}{0!} e^{-\lambda} \leq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{e^{\lambda}} \leq 0,5 }\)
\(\displaystyle{ e^{\lambda} \geq 2 }\)
\(\displaystyle{ \lambda \geq \ln(2) \approx 0,70 }\)
\(\displaystyle{ n\cdot 0,01 \geq 0,70, \ \ n \geq 70. }\)
Odpowiedź: trzeba zbadać co najmniej \(\displaystyle{ 70 }\) samochodów.