Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrami odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\). Wyznacz prawdpodobieństwo \(\displaystyle{ P(X<Y)}\).
Jak to zrobić?
Wyznacz prawdopodobieństwo
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
Musisz policzyć rozkład różnicy \(\displaystyle{ X-Y}\) lub inaczej pisząc sumy \(\displaystyle{ X+(-Y)}\). Skoro \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ X,-Y}\) także.
Podpowiedź:
Podpowiedź:
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
A możesz to jakoś bardziej rozpisać? bo na razie nie łapię. Po co mi ten rozkład \(\displaystyle{ X-Y}\)? Wiem jeszcze, że rozkład łączny \(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)P(Y)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
Aha no faktycznie rozumiem. Ale jak znaleźć rozklad \(\displaystyle{ X-Y}\)?
Aha no dobra bo mówisz o tym splocie. Ale jak wyznaczyć rozklad \(\displaystyle{ -Y}\)?
Aha no dobra bo mówisz o tym splocie. Ale jak wyznaczyć rozklad \(\displaystyle{ -Y}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ X \sim \lambda_{1} e^{-\lambda_{1}x}, \ \ Y \sim \lambda_{2}e^{-\lambda_{2} x}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{ Y > X\}) = P_{X,Y}( \{ (x,y): y - x > 0 \}) = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}\left( \lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}\cdot \lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}\right) dy dx = \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( \int_{x}^{\infty}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy\right)dx = \\
= \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( 1 - \int_{0}^{x}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy \right) dx =...}\)
Dodano po 9 minutach 8 sekundach:
Proszę najpierw obliczyć całkę wewnętrzną, uproszczą się wtedy jedynki.
\(\displaystyle{ P(\{ Y > X\}) = P_{X,Y}( \{ (x,y): y - x > 0 \}) = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}\left( \lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}\cdot \lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}\right) dy dx = \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( \int_{x}^{\infty}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy\right)dx = \\
= \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( 1 - \int_{0}^{x}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy \right) dx =...}\)
Dodano po 9 minutach 8 sekundach:
Proszę najpierw obliczyć całkę wewnętrzną, uproszczą się wtedy jedynki.