Wyznacz prawdopodobieństwo

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wyznacz prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrami odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\). Wyznacz prawdpodobieństwo \(\displaystyle{ P(X<Y)}\).

Jak to zrobić?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Wyznacz prawdopodobieństwo

Post autor: matmatmm »

Musisz policzyć rozkład różnicy \(\displaystyle{ X-Y}\) lub inaczej pisząc sumy \(\displaystyle{ X+(-Y)}\). Skoro \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ X,-Y}\) także.
Podpowiedź:
Ukryta treść:    
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

A możesz to jakoś bardziej rozpisać? bo na razie nie łapię. Po co mi ten rozkład \(\displaystyle{ X-Y}\)? Wiem jeszcze, że rozkład łączny \(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)P(Y)}\).
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Wyznacz prawdopodobieństwo

Post autor: matmatmm »

Masz do policzenia wartość dystrybuanty tego rozkładu w zerze.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

Aha no faktycznie rozumiem. Ale jak znaleźć rozklad \(\displaystyle{ X-Y}\)?

Aha no dobra bo mówisz o tym splocie. Ale jak wyznaczyć rozklad \(\displaystyle{ -Y}\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz prawdopodobieństwo

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ X \sim \lambda_{1} e^{-\lambda_{1}x}, \ \ Y \sim \lambda_{2}e^{-\lambda_{2} x}.}\)

\(\displaystyle{ P(\{ Y > X\}) = P_{X,Y}( \{ (x,y): y - x > 0 \}) = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}\left( \lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}\cdot \lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}\right) dy dx = \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( \int_{x}^{\infty}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy\right)dx = \\
= \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( 1 - \int_{0}^{x}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy \right) dx =...}\)


Dodano po 9 minutach 8 sekundach:
Proszę najpierw obliczyć całkę wewnętrzną, uproszczą się wtedy jedynki.
ODPOWIEDZ