Wyznacz rozkład zmiennej losowej

[max123321]

Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\), a zmienna \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=\min(X,Y)}\).

Jak to zrobić?

[Premislav]

A czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) z treści zadania są niezależne? Jeżeli tak, to może przyda się taka wskazówka:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)= \mathbf{P}(\min(X,Y)\le z)=1-\mathbf{P}(\min(X,Y)>z)=1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)}\)

[max123321]

Dzięki Premislav, na Ciebie to jednak zawsze można liczyć .

Tak, są niezależne, zapomniałem dopisać, sorka.

Czyli to będzie
\(\displaystyle{ P(Z \le z)=1-P(X>z,Y>z)=1-(1-P(X \le z))(1-P(Y \le z))}\)

i teraz jeśli \(\displaystyle{ z \le 0}\) to
\(\displaystyle{ 1-(1-P(X \le z))(1-P(Y \le z))=1-(1-0)(1-0)=0}\)

,a jeśli \(\displaystyle{ z>0}\) to
\(\displaystyle{ 1-(1-P(X \le Z))(1-P(Y \le z))=1-(1-(1-e^{-\lambda_1z}))(1-(1-e^{-\lambda_2z}))=1-e^{-(\lambda_1+\lambda_2)z}}\)

Czyli ostatecznie

\(\displaystyle{ P(Z<z)= \begin{cases} 1-e^{-(\lambda_1+\lambda_2)z} &\text{ dla } z \ge 0 \\ 0 &\text{ dla } z<0 \end{cases} }\)

Czy tak jest dobrze?

[Premislav]

Tak, jest w porządku. Innymi słowy, to minimum ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_{1}+\lambda_{2}}\).