W urnie znajduje się n kul czarnych i 5 białych

[partus44]

Zadanie brzmi następująco: W urnie znajduje się n kul czarnych oraz 5 bialych. Losujemy bez zwracania 2 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy 2 białe kule. Dodatkowa informacja to P(A) ≥ 1/5

[Janusz Tracz]

Dwie białe kule można wylosować na \(\displaystyle{ {5\choose 2} }\) sposobów a dwie dowolne kule można wylosować na \(\displaystyle{ {n+5 \choose 2} }\). Iloraz tych wartości przedstawia prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A)}\). Dodatkowa informacja ograniczy liczbę \(\displaystyle{ n}\)

Dodano po 32 sekundach:
Pisz w latexie bo temat wyląduje w koszu.

edit: pomyliłem słowo iloczyn ze słowem iloraz XD

[janusz47]

Jeśli \(\displaystyle{ A }\) jest zdarzeniem " wylosowano dwie kule białe" w jednoczesnym losowaniu bez zwracania dwóch kul, to

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{5\choose 2}\cdot {n\choose 0}}{{n+5\choose 2}}.}\)

[JHN]

Uwzględniając kolejność losowania:

\(\displaystyle{ |\Omega|=(n+5)\cdot (n+4)}\)

\(\displaystyle{ |A|=5\cdot 4}\)

Ale kolejność można zaniedbać, jak w poprzednich postach

Pozdrawiam

[edited] uzupełniłem komentarz

[janusz47]

Doświadczenie losowe \(\displaystyle{ D }\) polega na kolejnym losowaniu dwóch kul z urny, zawierającej \(\displaystyle{ 5 }\) kul białych i \(\displaystyle{ n }\) kul czarnych.

Etap 1 - losowanie pierwszej kuli

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1}):}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|} \hline
\Omega_{1} & b & c \\ \hline
P_{1} & \frac{5}{n+5} &\frac{n}{n+5} \\ \hline
\end{tabular} }\)

Etap 2 - losowanie drugiej kuli

\(\displaystyle{ (\Omega_{2} | P_{2}):}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|} \hline
\Omega_{2} & (b|b) & (c |b) & (b|c) & (c|c )\\ \hline
P_{2} & \frac{4}{n+4} & \frac{n}{n+4} & \frac{5}{n+4} & \frac{n-1}{n+4}\\ \hline
\end{tabular} }\)

Model łączny dwukrotnego losowania dwóch kul

\(\displaystyle{ (\Omega, P):}\)

\(\displaystyle{ (\Omega, P) = (\Omega_{1}, P_{1}) \times (\Omega_{2}, | P_{2}) }\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|} \hline
\Omega & (b,b) & (b,c) & (c, b) & (c,c) \\ \hline
P & \frac{5}{n+5}\cdot \frac{4}{n+4} & \frac{5}{n+5}\cdot \frac{n}{n+4} & \frac{n}{n+5} \cdot \frac{5}{n+4} & \frac{n}{n+5}\cdot \frac{n-1}{n+4}\\ \hline
\end{tabular} }\)

\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie "wylosowano dwie kule białe"

\(\displaystyle{ A = \{ (b,b)\}. }\)

\(\displaystyle{ P(A) = P(\{ (b,b)\}) = \frac{5}{n+5}\cdot \frac{4}{n+4} = \frac{20}{(n+5)(n+4)}.}\)