Czas oczekiwania

[max123321]

Udowodnić, że w procesie Poissona urodzin i śmierci czas oczekiwania na pierwszą reakcję ma rozkład wykładniczy. Zakładamy, że prawdopodobieństwo urodzin cząsteczki w czasie \(\displaystyle{ (t,t+h)}\) jest równe \(\displaystyle{ \lambda h+o(h)}\) i prawdopodobieństwo śmierci w czasie \(\displaystyle{ (t,t+h)}\) jest równe \(\displaystyle{ \mu nh+o(h)}\),gdzie \(\displaystyle{ n}\)-liczba cząsteczek w układzie. Wiemy jeszcze choć nie wiem czy to się przyda, że
\(\displaystyle{ \frac{dP_n}{dt}=-\lambda P_n(t)-\mu n P_n(t)+\lambda P_{n-1}+\mu (n+1)P_{n+1} }\) i \(\displaystyle{ \frac{dP_0}{dt}=-\lambda P_0+\mu P_1 }\), gdzie \(\displaystyle{ P_n(t)}\) to prawdopodobieństwo, że do czasu \(\displaystyle{ t}\) w układzie znajduje się \(\displaystyle{ n}\) cząsteczek. Należy pokazać, że czas oczekiwania na pierwszą reakcję czyli urodziny lub śmierć ma rozkład wykładniczy.

Jak to zrobić?

[janusz47]

Proszę zapoznać się najpierw z rozdziałem \(\displaystyle{ 1.3,}\) dotyczącym Procesu Poissona, a następnie z rozdziałem \(\displaystyle{ 1.4 }\) - Procesem Urodzin i Śmierci.

Z dokładniejszą analizą matematyczną Procesu Urodzin i Śmierci można zapoznać się w podręczniku
Pani dr Urszuli Foryś matematyka w biologii. WNT 2005 r. Warszawa.

[max123321]

Tak, tylko jak to przeliczyć? Możesz coś napisać?