Żarówki w pudle
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 25 paź 2019, o 21:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 1 raz
Żarówki w pudle
W pudle znajduje się \(\displaystyle{ 15}\) żarówek \(\displaystyle{ 60W}\), \(\displaystyle{ 15}\) żarówek \(\displaystyle{ 75W}\) i \(\displaystyle{ n}\) żarówek \(\displaystyle{ 100W}\). Z pudła zabrano w sposób losowy jedną żarówkę, następnie wyjęto drugą żarówkę. Oblicz \(\displaystyle{ n}\) jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania żarówki \(\displaystyle{ 100W}\) w drugim losowaniu jest równe \(\displaystyle{ 0,25}\).
Ostatnio zmieniony 25 paź 2019, o 22:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Żarówki w pudle
Etap I (losowanie pierwszej żarówki)
\(\displaystyle{ n\in \NN }\) - ilość żarówek \(\displaystyle{ 100 }\) watowych w pudełku.
Przestrzeń probabilistyczna:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\Omega & 60W & 75W & 100 W \\ \hline
P_{I}(\cdot) & \frac{15}{30+n} & \frac{15}{30+n} & \frac{n}{30 +n} \\ \hline
\end{tabular} }\)
Etap II (wylosowanie żarówki 100 W)
W drugim etapie żarówkę \(\displaystyle{ 100 W }\) wylosujemy wtedy, gdy w pierwszym etapie wylosowaliśmy żarówkę \(\displaystyle{ 60W }\) i w drugim etapie żarówkę \(\displaystyle{ 100W }\) lub w pierwszym etapie wylosowaliśmy żarówkę \(\displaystyle{ 75W }\) i w drugim etapie żarówkę \(\displaystyle{ 100W }\) lub w w pierwszym etapie wylosowaliśmy żarówkę \(\displaystyle{ 100W }\) i w drugim etapie też żarówkę \(\displaystyle{ 100W.}\)
Stosując do każdego z tych trzech przypadków wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń zależnych,
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(B)\cdot P(B|A), }\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{II}(100W) = \frac{15}{30+n} \cdot \frac{14}{29 +n} + \frac{15}{30+n} \cdot \frac{14}{29+n} +\frac{n}{30+n}\cdot \frac{n-1}{29+n} = \frac{1}{4}. }\)
Proszę rozwiązać to równanie ze względu na \(\displaystyle{ n.}\)
Odpowiedź: \(\displaystyle{ n = 30. }\)
\(\displaystyle{ n\in \NN }\) - ilość żarówek \(\displaystyle{ 100 }\) watowych w pudełku.
Przestrzeń probabilistyczna:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\Omega & 60W & 75W & 100 W \\ \hline
P_{I}(\cdot) & \frac{15}{30+n} & \frac{15}{30+n} & \frac{n}{30 +n} \\ \hline
\end{tabular} }\)
Etap II (wylosowanie żarówki 100 W)
W drugim etapie żarówkę \(\displaystyle{ 100 W }\) wylosujemy wtedy, gdy w pierwszym etapie wylosowaliśmy żarówkę \(\displaystyle{ 60W }\) i w drugim etapie żarówkę \(\displaystyle{ 100W }\) lub w pierwszym etapie wylosowaliśmy żarówkę \(\displaystyle{ 75W }\) i w drugim etapie żarówkę \(\displaystyle{ 100W }\) lub w w pierwszym etapie wylosowaliśmy żarówkę \(\displaystyle{ 100W }\) i w drugim etapie też żarówkę \(\displaystyle{ 100W.}\)
Stosując do każdego z tych trzech przypadków wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń zależnych,
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(B)\cdot P(B|A), }\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{II}(100W) = \frac{15}{30+n} \cdot \frac{14}{29 +n} + \frac{15}{30+n} \cdot \frac{14}{29+n} +\frac{n}{30+n}\cdot \frac{n-1}{29+n} = \frac{1}{4}. }\)
Proszę rozwiązać to równanie ze względu na \(\displaystyle{ n.}\)
Odpowiedź: \(\displaystyle{ n = 30. }\)