Wyznaczenie rozkładu prawdopodobieństwa

[veern]

Witam serdecznie,
mam problem z pewnym zadaniem polegającym na wyznaczeniu rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
Mianowicie:

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają następujące rozkłady prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{1}{3}}\), \(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{2}{3}}\) \(\displaystyle{ P(Y=0)=\frac{3}{4}}\), \(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{1}{4}}\).

Wyznacz:
a) łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X,Y)}\),
b) rozkład prawdopodobieństwa zm. losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).

Bardzo dziękuje z góry za wszelaką pomoc.

[Tmkk]

a) Sprawdź na palcach kiedy \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\left(X,Y\right) = \left(a,b\right)\right)}\). Dla jakich \(\displaystyle{ a,b}\) to prawdopodobieństwo jest niezerowe?
b) Podobnie. W jakiś punktach zmienna \(\displaystyle{ Z}\) ma niezerowe prawdopodobieństwo?

W obu przypadkach skorzystaj z niezależności.

[veern]

a) Czyli korzystając z niezależności \(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)\cdot P(Y)}\)?
b) Jak dobrze rozumiem to \(\displaystyle{ P(Z(X+Y))=P(X,Y)}\), ale dla \(\displaystyle{ Z=1}\) wychodzą dwie wartości. Gdzie robię błąd?

[Tmkk]

a) to nie jest niezależność. Ten napis ma z resztą średni sens, bo co to jest \(\displaystyle{ P(X)?}\) Chodzi na przykład o takie rozpisanie:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\big(\left(X,Y\big) = \left(0,0\right)\right) = \mathbb{P}(X = 0, Y = 0) = \mathbb{P}(X=0)\mathbb{P}(Y=0) = \ldots}\),
gdzie ostatnia równość to niezależność.
b)nie, i znowu, co oznacza napis \(\displaystyle{ P(Z(X+Y))?}\)

[janusz47]

Rozkład łączny zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y }\)

\(\displaystyle{ P_{X,Y} =\frac{3}{12}\delta_{0,0} + \frac{1}{12}\delta_{0,1} + \frac{6}{12}\delta_{1,0} + \frac{2}{12}\delta_{1,1} }\)

Tabelka 1

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
X \backslash Y & 0 & 1 \\ \hline
0 & \frac{3}{12} & \frac{1}{12}\\ \hline
1 & \frac{6}{12} & \frac{2}{12} \\ \hline
\end{tabular} }\)

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y }\)

\(\displaystyle{ P_{Z} = P_{X+Y} = \frac{3}{12}\delta_{0} + \frac{7}{12}\delta_{1} + \frac{2}{12}\delta_{2} }\)

Tabelka 2

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
z_{i} & 0 & 1 & 2 \\ \hline
p_{i} & \frac{3}{12} & \frac{7}{12} & \frac{2}{12} \\ \hline
\end{tabular} }\)

[veern]

Bardzo dziękuję, nie wiedziałam tylko, co zrobić z tymi dwoma wartościami przy \(\displaystyle{ Z1}\). Czyli trzeba je dodać :*

Dodano po 36 minutach 28 sekundach:
A jak bym miała jeszcze policzyć \(\displaystyle{ P(X>1, Y<1)}\). To z czego miałabym skorzystać?

[Tmkk]

Z niezależności.

[janusz47]

Czy zmienna \(\displaystyle{ X }\) może przyjmować wartości \(\displaystyle{ X > 1 ? }\) Nie, więc prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \{X >1\}, \ \ P(\{ X >1\})= P(\{ X \in \emptyset \}) = ? }\)

Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y }\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \{ Y <1\} }\) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie \(\displaystyle{ \{Y = 0\} }\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(\{ Y =0 \}) = \frac{3}{4}.}\)

Stąd wynika, że

\(\displaystyle{ P(\{ X >1, \ \ Y< 1\}) = P(\{ X \in \emptyset ,\ \ Y = 0 \}) = ...}\)

[veern]

\(\displaystyle{ P({X>1, Y<1})=P({X∈∅, Y=0})= 0}\)?

[janusz47]

Dobrze.