Losowanie kul, liczb ze zwracaniem

[Filippo9669]

Cześć,
mam problem z następującymi zadaniami:

1. Z urny, w której jest \(\displaystyle{ 2n}\) białych i \(\displaystyle{ 2n}\) czarnych kul losujemy ze zwracaniem \(\displaystyle{ 2n}\) kul. Oblicz prawdopodbieństwo tego, że wśród wylosowanych jest tyle samo kul białych co czarnych. Co gdyby losowanie odbywało się bez zwracania?

No i zastanawiam się nad omegą: na zajęciach jest równa \(\displaystyle{ 2^{2n} }\) i domyślam się, że bierze się to ze wzoru \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} }\), tylko nie wiem, dlaczego akurat z niego. Losowanie \(\displaystyle{ 2n}\) razy za każdym razem po jednej z \(\displaystyle{ 4n}\) kul wydaje mi się jednak trochę bez sensu.


2. Spośród pierwiastków naturalnych równania
\(\displaystyle{ n_{1} + . . . + n_{6} = 50, n_{i} ∈ N,}\)
wybieramy losowo jeden: \(\displaystyle{ (N_{1}, . . . , N_{6})}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ N_{1} + N_{2} = 20}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ N_{4} + N_{5} = 25}\)?

Moc omegi to \(\displaystyle{ {44 + 6 - 1 \choose 6 - 1} }\). Nie rozumiem jedynie tego \(\displaystyle{ 44}\). Rozumiem to tak, że nie możemy wybierać z 50 liczb, ponieważ np. dla 46 nie istnieje w tym zbiorze dopełnienie do 50 dla pięciu składników, które trzeba jeszcze wybrać. Czyli teoretycznie \(\displaystyle{ 45 + 6 - 1}\), ale może wcale nie o to tutaj chodzi?

Będę wdzięczny za każdą pomoc.

[a4karo]

1 ze zwracaniem to po prostu schemat Bernoulliego.

A "omega" ma tyle elementów ile ma i zależy to od tego jak ją określisz. To Twoje zadanie i Twoje rozwiązanie, więc nie powołuj się na to, co było na zajęciach, tylko opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.

[Filippo9669]

Tylko dlaczego koniecznie schemat Bernoulliego? Co jest złego w losowaniu jednej z \(\displaystyle{ 4n}\) kul \(\displaystyle{ 2n}\) krotnie, czyli \(\displaystyle{ 4n^{2n} }\)?
Edit: okej, domyślam się, że nierozróżnialność.

W drugim mimo wszystko chciałbym się dowiedzieć, dlaczego to wszystko wygląda tak, a nie inaczej, tj. czemu w omedze jest 44, a nie 45. Bo nie wiem, czy dobrze to rozumiem.

[a4karo]

Jak sobie napiszesz czym jest omega, to zrozumiesz.

Zastanów się : przecież doświadczenie z wyciąganiem kuli spośród \(4 n\) niczym się nie różni od wyciągania jednej kuli z dwóch - białej i czarnej