Prawdopodobieństwo śmierci lub zachorowania na raka płuc

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 387
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Prawdopodobieństwo śmierci lub zachorowania na raka płuc

Post autor: matemix » 10 paź 2019, o 22:59

90% palaczy to chorzy na raka płuc. Ale co roku notuje się 21000 zachorowań i 23000 zgonów na raka płuc w Polsce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będąc 30-letnim mężczyzną w całym swoim życiu zachorujemy lub umrzemy na raka płuc? Zakładamy, że liczba ludności (37394000) w Polsce jest stała i liczba zachorowań oraz zgonów też będzie stała. Zaś średnio mężczyzna żyje w Polsce 74,2 lat.

Na początek zastosowałem twierdzenie Bayesa i policzyłem jakie jest prawdopodobieństwo, że w pojedynczym roku palący mężczyzna zachoruje na raka płuc. Nie jestem tego w stanie jednak zapisać, bo znowu coś jest nie tak z latexem na forum (za długi wzór, czy co?). W każdym razie do wzoru wstawiłem:
- w liczniku procent chorych i zgonów w populacji w każdym roku, czyli \(\displaystyle{ \frac{43000}{37394000}=0,00114991709}\) i pomnożyłem to razy prawdopodobieństwo bycia palaczem, jeśli jest się chorym na raka płuc, czyli \(\displaystyle{ 0,9}\),
- w mianowniku to co w liczniku plus \(\displaystyle{ (1-0,00114991709) \cdot (1-0,9)}\).

Wyszło mi, że prawdopodobieństwo zachorowania na raka w pojedynczym roku, jeśli jesteśmy palaczem wynosi \(\displaystyle{ 1,0491 \% }\). Czy na tym etapie to jest właściwy wynik i dobrze rozumuję oraz dobrze zastosowałem twierdzenie Bayesa?

Ale to nie wszystko. Policzyliśmy jak na razie tylko prawdopodobieństwo zachorowania w pojedynczym roku. Trzeba jednak jeszcze uwzględnić, że mając 30 lat przeżyjemy jeszcze 44,2 lat. I tu mam wątpliwości jak to policzyć. Można skorzystać ze schematu Bernoulliego i określić tyle prób ile jest lat, a za prawdopodobieństwo sukcesu uznać zaś wyliczone \(\displaystyle{ 1,0491 \% }\). I policzyć prawdopodobieństwo dokładnie jednego sukcesu. Tylko tu mam wątpliwości. Czy nie powinniśmy tu policzyć raczej prawdopodobieństwa dla co najmniej jednego sukcesu? A nie dla dokładnie jednego sukcesu? Tylko, że sukcesów oczywiście nie może być więcej niż jeden, bo jak raz zachorujemy albo umrzemy, to jest to koniec. Nie chcę brać pod uwagę przypadków, że po zachorowaniu zachorujemy jeszcze raz, czy niczego podobnego. Nie wiem jak to rozumieć i jak to rozwiązać. Wydaje mi się, że właściwy wynik dotyczy policzenia tego dla przypadku odniesienia co najmniej jednego sukcesu, a nie tylko dokładnie jednego. Tylko nie wiem jak to logicznie uzasadnić.

A może już wcześniej popełniłem jakiś błąd? Jak policzyć to zadanie? Po wyliczeniu tego dla sukcesu odniesionego co najmniej jeden raz wyszło mi prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 54,27 \%}\).

Dodano po 1 godzinie 2 minutach 24 sekundach:
Chyba już wiem jak to logicznie wytłumaczyć. Wystarczy, że zachorujemy przynajmniej jeden raz, aby umrzeć lub mieć tego raka. Oznacza to, że nie powinniśmy liczyć przypadku dokładnie jednego sukcesu, skoro wystarczy, że zdarzenie to nastąpi przynajmniej jeden raz, aby spełnić warunek, który określiliśmy. Czyli wystarczy, że zachorujemy lub umrzemy przynajmniej jeden raz, aby warunek był spełniony. Wówczas kolejne "próby" w kolejnych latach już nie muszą być koniecznie nietrafione, tak jakby wymagał tego przypadek dokładnie jednego sukcesu w schemacie Bernoulliego, bo one wówczas nas już nie interesują. Dlatego trzeba tu policzyć przypadek co najmniej jednego sukcesu w schemacie Bernoulliego. Zatem wygląda na to, że policzyłem to dobrze.

ODPOWIEDZ