Rozkład sumy zmiennych losowych

[stim4pl]

Hej . Mam problem z dwoma zadaniami z probabilistyki i był bym wdzięczny jak by ktoś mi wytłumaczył jak je zrobić.

1.Rzucamy dwoma kostkami. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X_1}\) przyjmuje wartości równe liczbie wpadniętych oczek na pierwszej kostce.Zmienna losowa \(\displaystyle{ x_2}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) gdy na pierwszej kostce wypadnie \(\displaystyle{ 1}\) oczko, a na drugie kostce \(\displaystyle{ 5}\) oczek, w innym przypadku przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\). Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X_1+X_2}\).

2.Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest opisana rozkładem wykładniczym o \(\displaystyle{ \lambda=2}\) Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=2X+1}\).

[Premislav]

2. Znajdźmy dystrybuantę rozkładu \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ \displaystyle{\mathbf{P}(Y\le y)=\mathbf{P}(2X+1\le y)=\mathbf{P}\left(X\le \frac{y-1}{2}\right)\\=\begin{cases}0 &\text{ gdy } \frac{y-1}{2}\le 0\\1-e^{-(y-1)} &\text{ w przeciwnym przypadku } \end{cases}}}\)
Korzystamy tutaj z postaci dystrybuanty zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\), którą powinieneś znać, a jak nie, to wiki:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_wyk%C5%82adniczy

Różniczkując dystrybuantę, masz gęstość, której postać to
\(\displaystyle{ e^{1-y} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(1,+\infty)}(y)}\)

Natomiast zadanie bardzo podobne do pierwszego rozwiązywałem tutaj:
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?f=42&t=442207

[stim4pl]

Super
Dziękuje bardzo za pomoc
Pozdrawiam