Zadanie z liceum losowanie kulek

[adi999123]

Mamy 2 pojemniki. W każdym z nich po 5 bialych i 4 czarne kule. Z pierwszego losowo wybieramy 3 kule i przekladamy do drugiego. Potem z drugiego losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą z drugiego pojemnika?

[Gosda]

Najszybciej rozpatrzeć cztery przypadki: przełożyliśmy zero, jedną, dwie lub trzy białe kule, i potem zsumować prawdopodobieństwa.

[adi999123]

To będzie coś w stylu że 1 przypadek 3 białe i to jest \(\displaystyle{ \displaystyle{\frac{\binom{5}{3}}{{9 \choose 3}}}}\), 2 przypadek, 3, 4 i mając prawdopodobieństwa tych 4 przypadków policzyć w kazdej sytuacji prawdop losowania białej z drugiego i potem pomnożyć każdy przypadek przez prawdop białej i zsumować? Dobrze myślę? I np przypadek typu 2 białe 1 czarna to będzie prawdop \(\displaystyle{ \displaystyle{\frac{\binom52\binom41}{\binom93}}}\) ?

[Gosda]

Mniej więcej tak, jeśli przedstawisz kompletne rachunki, mogę Ci je sprawdzić.

[janusz47]

Doświadczenie losowe opisane w zadaniu jest dwuetapowe.

Etap pierwszy - jednoczesne losowanie z pierwszego pojemnika zawierającego pięć kul białych i cztery kule czarne - trzech kul i przełożenie do drugiego pojemnika o takiej samej zawartości kul.

Etap drugi - losowanie jednej kuli z pojemnika drugiego.

Oznaczenia :

\(\displaystyle{ b }\) - kula biała

\(\displaystyle{ c }\) - kula czarna

Etap pierwszy

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left \{ \{ b,b,b\}, \{ b,b, c\}, \{b, c, c\} , \{c,c,c \}\right\} }\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{ P(\{ b,b,b\}) = \frac {{5\choose 3}}{{9\choose 3}} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}}}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ b,b,c\}) = \frac {{5\choose 2}\cdot {4\choose 1}}{{9\choose 3}} = \frac{40}{84} = \frac{20}{42}}}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ b,c,c\}) = \frac {{5\choose 1}\cdot {4\choose 2}}{{9\choose 3}} = \frac{30}{84} = \frac{15}{42}}}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ c,c,c\}) = \frac { {4\choose 3}}{{9\choose 3}} = \frac{4}{84} = \frac{2}{42}}}\)

Etap drugi

\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left \{ b , c \right \}}\)

Z równania prawdopodobieństwa całkowitego (zupełnego)

\(\displaystyle{ \displaystyle{
P(\{ b\}) = P (\{b,b,b\})\cdot P( \{b\} | \{b,b,b\}) +P (\{ b,b,c\})\cdot P( \{b\} | \{ b,b,c\}) + P (\{b,c,c\})\cdot P( \{b\} | \{b,c,c\}) + P(\{c,c,c\})\cdot P(\{b\} | \{c,c,c\})\\ \\
P(\{ c \}) = P (\{b,b,b\})\cdot P( \{c\} | \{ b,b,b\}) + P (\{b,b,c\})\cdot P( \{c\} | \{b,b,c\}) + P (\{b,c,c\}) \cdot P( \{c\} | \{b,c,c\}) +
P(\{c,c,c\})\cdot P(\{c\} | \{c,c,c\})\\ \\
P(\{ b\}) = \frac{5}{42}\cdot \frac{8}{12} + \frac{20}{42}\cdot \frac{7}{12} + \frac{15}{42}\cdot \frac{6}{12} + \frac{2}{42} \cdot \frac{5}{12}= \frac{280}{504}\\ \\
P(\{ c\}) = \frac{5}{42}\cdot \frac{4}{12} + \frac{20}{42}\cdot \frac{5}{12} + \frac{15}{42}\cdot \frac{6}{12} + \frac{2}{42}\cdot \frac{7}{12}= \frac{224}{504}.
}}\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

Realizując doświadczenie losowe, możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 55(5)\% }\) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy kulę białą.

[Gosda]

Myślę, że ciekawe ćwiczenie: jakie jest najogólniejsze rozwiązanie tego problemu? Na przykład, kiedy mamy dwa pojemniki, w których zarowno liczba kul białych jak i czarnych, a także liczba przełożeń i liczba oczekiwanych sukcesów są zastąpione literkami?