Zadanie z liceum losowanie kulek
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 24 lut 2019, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Zadanie z liceum losowanie kulek
Mamy 2 pojemniki. W każdym z nich po 5 bialych i 4 czarne kule. Z pierwszego losowo wybieramy 3 kule i przekladamy do drugiego. Potem z drugiego losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą z drugiego pojemnika?
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Zadanie z liceum losowanie kulek
Najszybciej rozpatrzeć cztery przypadki: przełożyliśmy zero, jedną, dwie lub trzy białe kule, i potem zsumować prawdopodobieństwa.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 24 lut 2019, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Re: Zadanie z liceum losowanie kulek
To będzie coś w stylu że 1 przypadek 3 białe i to jest \(\displaystyle{ \displaystyle{\frac{\binom{5}{3}}{{9 \choose 3}}}}\), 2 przypadek, 3, 4 i mając prawdopodobieństwa tych 4 przypadków policzyć w kazdej sytuacji prawdop losowania białej z drugiego i potem pomnożyć każdy przypadek przez prawdop białej i zsumować? Dobrze myślę? I np przypadek typu 2 białe 1 czarna to będzie prawdop \(\displaystyle{ \displaystyle{\frac{\binom52\binom41}{\binom93}}}\) ?
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2019, o 22:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a.
Powód: Brak LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zadanie z liceum losowanie kulek
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu jest dwuetapowe.
Etap pierwszy - jednoczesne losowanie z pierwszego pojemnika zawierającego pięć kul białych i cztery kule czarne - trzech kul i przełożenie do drugiego pojemnika o takiej samej zawartości kul.
Etap drugi - losowanie jednej kuli z pojemnika drugiego.
Oznaczenia :
\(\displaystyle{ b }\) - kula biała
\(\displaystyle{ c }\) - kula czarna
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left \{ \{ b,b,b\}, \{ b,b, c\}, \{b, c, c\} , \{c,c,c \}\right\} }\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ P(\{ b,b,b\}) = \frac {{5\choose 3}}{{9\choose 3}} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ b,b,c\}) = \frac {{5\choose 2}\cdot {4\choose 1}}{{9\choose 3}} = \frac{40}{84} = \frac{20}{42}}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ b,c,c\}) = \frac {{5\choose 1}\cdot {4\choose 2}}{{9\choose 3}} = \frac{30}{84} = \frac{15}{42}}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ c,c,c\}) = \frac { {4\choose 3}}{{9\choose 3}} = \frac{4}{84} = \frac{2}{42}}}\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left \{ b , c \right \}}\)
Z równania prawdopodobieństwa całkowitego (zupełnego)
\(\displaystyle{ \displaystyle{
P(\{ b\}) = P (\{b,b,b\})\cdot P( \{b\} | \{b,b,b\}) +P (\{ b,b,c\})\cdot P( \{b\} | \{ b,b,c\}) + P (\{b,c,c\})\cdot P( \{b\} | \{b,c,c\}) + P(\{c,c,c\})\cdot P(\{b\} | \{c,c,c\})\\ \\
P(\{ c \}) = P (\{b,b,b\})\cdot P( \{c\} | \{ b,b,b\}) + P (\{b,b,c\})\cdot P( \{c\} | \{b,b,c\}) + P (\{b,c,c\}) \cdot P( \{c\} | \{b,c,c\}) +
P(\{c,c,c\})\cdot P(\{c\} | \{c,c,c\})\\ \\
P(\{ b\}) = \frac{5}{42}\cdot \frac{8}{12} + \frac{20}{42}\cdot \frac{7}{12} + \frac{15}{42}\cdot \frac{6}{12} + \frac{2}{42} \cdot \frac{5}{12}= \frac{280}{504}\\ \\
P(\{ c\}) = \frac{5}{42}\cdot \frac{4}{12} + \frac{20}{42}\cdot \frac{5}{12} + \frac{15}{42}\cdot \frac{6}{12} + \frac{2}{42}\cdot \frac{7}{12}= \frac{224}{504}.
}}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
Realizując doświadczenie losowe, możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 55(5)\% }\) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy kulę białą.
Etap pierwszy - jednoczesne losowanie z pierwszego pojemnika zawierającego pięć kul białych i cztery kule czarne - trzech kul i przełożenie do drugiego pojemnika o takiej samej zawartości kul.
Etap drugi - losowanie jednej kuli z pojemnika drugiego.
Oznaczenia :
\(\displaystyle{ b }\) - kula biała
\(\displaystyle{ c }\) - kula czarna
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left \{ \{ b,b,b\}, \{ b,b, c\}, \{b, c, c\} , \{c,c,c \}\right\} }\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ P(\{ b,b,b\}) = \frac {{5\choose 3}}{{9\choose 3}} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ b,b,c\}) = \frac {{5\choose 2}\cdot {4\choose 1}}{{9\choose 3}} = \frac{40}{84} = \frac{20}{42}}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ b,c,c\}) = \frac {{5\choose 1}\cdot {4\choose 2}}{{9\choose 3}} = \frac{30}{84} = \frac{15}{42}}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{P(\{ c,c,c\}) = \frac { {4\choose 3}}{{9\choose 3}} = \frac{4}{84} = \frac{2}{42}}}\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left \{ b , c \right \}}\)
Z równania prawdopodobieństwa całkowitego (zupełnego)
\(\displaystyle{ \displaystyle{
P(\{ b\}) = P (\{b,b,b\})\cdot P( \{b\} | \{b,b,b\}) +P (\{ b,b,c\})\cdot P( \{b\} | \{ b,b,c\}) + P (\{b,c,c\})\cdot P( \{b\} | \{b,c,c\}) + P(\{c,c,c\})\cdot P(\{b\} | \{c,c,c\})\\ \\
P(\{ c \}) = P (\{b,b,b\})\cdot P( \{c\} | \{ b,b,b\}) + P (\{b,b,c\})\cdot P( \{c\} | \{b,b,c\}) + P (\{b,c,c\}) \cdot P( \{c\} | \{b,c,c\}) +
P(\{c,c,c\})\cdot P(\{c\} | \{c,c,c\})\\ \\
P(\{ b\}) = \frac{5}{42}\cdot \frac{8}{12} + \frac{20}{42}\cdot \frac{7}{12} + \frac{15}{42}\cdot \frac{6}{12} + \frac{2}{42} \cdot \frac{5}{12}= \frac{280}{504}\\ \\
P(\{ c\}) = \frac{5}{42}\cdot \frac{4}{12} + \frac{20}{42}\cdot \frac{5}{12} + \frac{15}{42}\cdot \frac{6}{12} + \frac{2}{42}\cdot \frac{7}{12}= \frac{224}{504}.
}}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
Realizując doświadczenie losowe, możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 55(5)\% }\) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy kulę białą.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Zadanie z liceum losowanie kulek
Myślę, że ciekawe ćwiczenie: jakie jest najogólniejsze rozwiązanie tego problemu? Na przykład, kiedy mamy dwa pojemniki, w których zarowno liczba kul białych jak i czarnych, a także liczba przełożeń i liczba oczekiwanych sukcesów są zastąpione literkami?