Zmienna losowa ciągła

[kamael666]

Witam. Mam pytanie odnośnie dwóch zadań:

1)Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma wartości z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) wynosi \(\displaystyle{ f(x) = cx^2 - x^4}\) (w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\)). Wyznaczyć \(\displaystyle{ c}\) i obliczyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E} X}\).

Tu prosiłbym o sprawdzenie i ewentualne wyjaśnienie błędów. Moje wyniki to \(\displaystyle{ c=3.6}\), \(\displaystyle{ \mathbb{E} X= \frac{17}{60}}\) .

2) Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) może przyjmować dowolną wartość z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= 2X-1}\).
Tu prosiłbym o rozwiązanie bo nie wiem jak to ugryźć.

Pozdrawiam.

[Premislav]

2) jest źle sformułowane. Zapewne chodzi o rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\), ale to nie jest jego poprawne określenie, na przykład pasuje też zmienna losowa o rozkładzie Beta z jakimiś tam parametrami.

Co do 1), stałą \(\displaystyle{ c}\) wyznaczyłeś poprawnie, z wartością oczekiwaną jest gorzej:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x\cdot \left( 3,6x^2-x^4\right)\,\dd x=3,6 \int_{0}^{1} x^3\,\dd x- \int_{0}^{1} x^5\,\dd x=0,9-\frac 1 6=\frac{27}{30}-\frac 5 {30}=\frac{11}{15}}\)

[kamael666]

1) Dzięki, faktycznie głupi błąd przy ułamku.

2) Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) może przyjmować z równym prawdopodobieństwem, dowolną wartość z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= 2X-1}\).

Treść przepisana litera w literę.

[Premislav]

No to takie sformułowanie już trochę lepsze (i tak można by się przyczepić, ale dajmy spokój).
Tutaj masz coś o

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_jednostajny_ci%C4%85g%C5%82y

Można do tego podejść od strony dystrybuanty. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ (0,1)}\) przedstawia się tak:
\(\displaystyle{ F(t)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t\le 0 \\ t \text{ gdy } t\in(0,1)\\ 1\text{ gdy } t\ge 1 \end{cases}}\),
zatem dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=2X-1}\), gdy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\), wygląda tak:
\(\displaystyle{ F_Y(y)=\mathbf{P}(Y\le y)=\mathbf{P}(2X-1\le y)=\mathbf{P}\left(X\le \frac{y+1}{2}\right) =\\= \begin{cases}0 \text{ gdy } \frac{y+1}{2}\le 0 \\ \frac{y+1}{2} \text{ gdy } \frac{y+1}{2}\in(0,1)\\ 1 \text{ gdy }\frac{y+1}{2}\ge 1 \end{cases}}\)

No a chyba przekształcać nierówności typu
\(\displaystyle{ \frac{y+1}{2}>0}\) to umiesz…

[kamael666]

Wielkie dzięki