Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) niech \(\displaystyle{ k,r \in \NN \cup \left\{ 0\right\}}\) (zależnie od n) będą takie, że \(\displaystyle{ n=2^{k}+r, 0 \le r \le 2^{k}}\). Na przestrzeni prawdopodobieństwa\(\displaystyle{ \left( \left[ 0,1\right], B\left( \left[ 0,1\right] \right), P \right)}\), gdzie P jest rozkładem jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ \left[0,1 \right]}\), określmy zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{n}}\) wzorem
\(\displaystyle{ X_{n}\left( \omega\right)=X_{2^{k}+r}= \begin{cases} \sqrt{n},\quad \omega \in \left[ \frac{r}{2^{k}}, \frac{r+1}{2^{k}} \right] \\ 0 \quad poza \end{cases}}\)
Sprawdz czy i według jakich rodzajów zbieżności ciąg \(\displaystyle{ X_{n}}\) jest zbieżny
Bardzo prosiłabym o pomoc w tym zadaniu
Zbieżność ciągu
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Zbieżność ciągu
Ostatnio zmieniony 1 lip 2019, o 21:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbieżność ciągu [latex] X_{n} [/latex]
Tak określony ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^{\infty}}\) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zera. Istotnie, ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i niech \(\displaystyle{ n\ge 1}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_n|\ge \varepsilon)\le \mathbf{P}(X_n=\sqrt{n})=\frac{1}{2^{k(n)}}\le \frac{2}{n}}\)
przy czym pierwsza nierówność wynika z tego, że gdy \(\displaystyle{ |X_n|=0}\), to nie może być \(\displaystyle{ |x_n|\ge \varepsilon}\), natomiast druga nierówność bierze się stąd, że
\(\displaystyle{ n=2^{k(n)}+r\le 2^{k(n)}+2^{k(n)}}\), a w związku z tym
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac n 2\right) \le k(n)}\) i \(\displaystyle{ \frac n 2 \le 2^{k(n)}}\)
Wobec tego oczywiście mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\mathbf{P}(|X_n|\ge \varepsilon)=0}\).
Natomiast jeśli \(\displaystyle{ (X_n)}\) są niezależne (nie widzę tego w treści, więc pewnie trzeba to sprawdzić…), to ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^{\infty}}\) jak w treści zadania nie jest zbieżny prawie na pewno do zera, co wynika z prostych obliczeń i z drugiego lematu Borela-Cantelliego. Sprawdź tę niezależność.
Jakie jeszcze znasz rodzaje zbieżności? No mamy tutaj zbieżność według rozkładu, która wynika ze zbieżności według prawdopodobieństwa (znane), może jeszcze by się pokusić o zbadanie zbieżności w \(\displaystyle{ \mathrm{L}^p}\).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_n|\ge \varepsilon)\le \mathbf{P}(X_n=\sqrt{n})=\frac{1}{2^{k(n)}}\le \frac{2}{n}}\)
przy czym pierwsza nierówność wynika z tego, że gdy \(\displaystyle{ |X_n|=0}\), to nie może być \(\displaystyle{ |x_n|\ge \varepsilon}\), natomiast druga nierówność bierze się stąd, że
\(\displaystyle{ n=2^{k(n)}+r\le 2^{k(n)}+2^{k(n)}}\), a w związku z tym
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac n 2\right) \le k(n)}\) i \(\displaystyle{ \frac n 2 \le 2^{k(n)}}\)
Wobec tego oczywiście mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\mathbf{P}(|X_n|\ge \varepsilon)=0}\).
Natomiast jeśli \(\displaystyle{ (X_n)}\) są niezależne (nie widzę tego w treści, więc pewnie trzeba to sprawdzić…), to ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^{\infty}}\) jak w treści zadania nie jest zbieżny prawie na pewno do zera, co wynika z prostych obliczeń i z drugiego lematu Borela-Cantelliego. Sprawdź tę niezależność.
Jakie jeszcze znasz rodzaje zbieżności? No mamy tutaj zbieżność według rozkładu, która wynika ze zbieżności według prawdopodobieństwa (znane), może jeszcze by się pokusić o zbadanie zbieżności w \(\displaystyle{ \mathrm{L}^p}\).