Rozkład prawdopodobieństwa promienia koła i jego pola.

[Ljosberinn]

Pewnie dla innych proste:

Dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ r=x}\) wyraża się funkcją \(\displaystyle{ y= e^{-x}}\).

Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa pola koła, dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\), gdzie \(\displaystyle{ y}\) jest polem koła.

Wymyśliłem sobie funkcję: \(\displaystyle{ e^{- \frac{ \sqrt{y} }{ \sqrt{ \pi } } }}\), gdzie \(\displaystyle{ y}\), to pole koła.

Jest to raczej naiwne podejście i niepoprawne, bo funkcja nie całkuje się do 1.

[szw1710]

Gęstością promienia jest więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)=e^{-x},}\) (Dlaczego może to być gęstość prawdopodobieństwa w przedziale \(\displaystyle{ [0,infty)}\)? Jak określić tę gęstość w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\)?)

Mamy teraz pole \(\displaystyle{ P=\pi r^2.}\) Więc musimy znaleźć funkcję gęstości tej zmiennej losowej. Można też podać dystrybuantę.

Dla promienia: \(\displaystyle{ F_r(x)=P(r<x)=\int_0^x e^{-t}\dd t=1-e^{-x}.}\)
Dla pola:

\(\displaystyle{ F_P(y)=P(\pi x^2<y)=P\left(x^2<\frac{y}{\pi}\right)=P\left(x<\sqrt{\frac{y}{\pi}}\right)=\dots}\)

Tu skorzystaj z definicji dystrybuanty zmiennej \(\displaystyle{ r}\).

[Ljosberinn]

Tak zrobiłem:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{x}{ \pi } } }e ^{-t} \mbox{d}t = 1- e^{- \sqrt{ \frac{x}{ \pi } } }}\)

Następnie:
\(\displaystyle{ \left( 1- e^{- \sqrt{ \frac{x}{ \pi } } }\right)'= \frac{ e^{- \sqrt{ \frac{x}{ \pi } } } }{2 \sqrt{ \pi x} }}\)

Czy taki wzór ma poszukiwany rozkład ?

[szw1710]

Rozkład to coś innego. Jest to (unormowana) miara Borela na prostej, a nie funkcja liczbowo-liczbowa. Rozkład zmiennej losowej ciągłej zadaje albo funkcja gęstości, albo dystrybuanta. Istotnie, gęstość jest pochodną dystrybuanty. Ale nie zrobiłeś najważniejszej rzeczy: gęstość to funkcja określona na całej prostej. A nie zastanowiłeś się, jak ona wygląda po stronie ujemnej ani dla promienia, ani dla koła. Więc teraz to mniej więcej tak, że słyszysz, że dzwonią, ale nie wiesz, w którym kościele. Uzupełnij brakujące szczegóły.