Prawdopodobieństwo geometryczne.

Dwakoty · Post autor: **Dwakoty** » 30 cze 2019, o 11:59

W przedziale $\displaystyle{ [0,1]}$ wybrano losowo dwie liczby : $\displaystyle{ x}$ i $\displaystyle{ y}$. Jakie jest prawdopodobieństwo , że ani jedna z trzech częsci podzieleonego w ten sposob odcina jednostkowego nie bedzie mniejsza od $\displaystyle{ a}$, gdzie $\displaystyle{ a \in \left[ 0,\frac{1}{3} \right]}$.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 30 cze 2019, o 12:28

Ustalmy $\displaystyle{ a}$ oraz narysujmy kwadrat $\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2}$. Wybór punktów $\displaystyle{ x,y}$ tnie odcinek na $\displaystyle{ 3}$ części o długości $\displaystyle{ x,y,1-x-y}$ warunek z treści można wyrazić algebraicznie układem

$\displaystyle{ \begin{cases} a \le x \\a \le y\\a \le 1-x-y \end{cases}}$

By spełniony był powyższy warunek punkt $\displaystyle{ \left( x,y\right)\in\Delta}$

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1]
%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300

%Straight Lines [id:da12919222021813703]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (180,110) -- (310,250) ;

%Shape: Square [id:dp4191622785951139]
\draw (180,60) -- (370,60) -- (370,250) -- (180,250) -- cycle ;
%Shape: Brace [id:dp8858566595885224]
\draw (172.9,62.52) .. controls (168.23,62.62) and (165.95,65) .. (166.05,69.66) -- (166.19,76.67) .. controls (166.33,83.34) and (164.07,86.72) .. (159.4,86.81) .. controls (164.07,86.72) and (166.47,90) .. (166.61,96.66)(166.55,93.66) -- (166.75,103.67) .. controls (166.85,108.34) and (169.23,110.62) .. (173.9,110.52) ;
%Straight Lines [id:da8942244506696326]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (230,250) -- (230,60) ;

%Straight Lines [id:da5902459997801961]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (370,200) -- (180,200) ;

%Shape: Brace [id:dp9620776406834703]
\draw (169.9,201.52) .. controls (165.23,201.62) and (162.95,204) .. (163.05,208.66) -- (163.19,215.67) .. controls (163.33,222.34) and (161.07,225.72) .. (156.4,225.81) .. controls (161.07,225.72) and (163.47,229) .. (163.61,235.66)(163.55,232.66) -- (163.75,242.67) .. controls (163.85,247.34) and (166.23,249.62) .. (170.9,249.52) ;
%Shape: Brace [id:dp453010571446286]
\draw (179.9,259.52) .. controls (179.81,264.19) and (182.09,266.57) .. (186.76,266.66) -- (194.76,266.82) .. controls (201.43,266.95) and (204.71,269.35) .. (204.62,274.02) .. controls (204.71,269.35) and (208.09,267.09) .. (214.76,267.22)(211.76,267.16) -- (222.76,267.38) .. controls (227.43,267.47) and (229.81,265.19) .. (229.9,260.52) ;
%Shape: Brace [id:dp41180078156133226]
\draw (308.9,257.52) .. controls (308.9,262.19) and (311.23,264.52) .. (315.9,264.52) -- (326.9,264.52) .. controls (333.57,264.52) and (336.9,266.85) .. (336.9,271.52) .. controls (336.9,266.85) and (340.23,264.52) .. (346.9,264.52)(343.9,264.52) -- (357.9,264.52) .. controls (362.57,264.52) and (364.9,262.19) .. (364.9,257.52) ;
%Shape: Right Triangle [id:dp07369129007814612]
\draw [fill={rgb, 255:red, 208; green, 2; blue, 27 } ,fill opacity=1 ] (229.9,165.52) -- (263.9,199.52) -- (229.9,199.52) -- cycle ;

% Text Node
\draw (147,80) node {$a$};
% Text Node
\draw (147,225) node {$a$};
% Text Node
\draw (207,279) node {$a$};
% Text Node
\draw (339,279) node {$a$};
% Text Node
\draw (257,172) node {$\Delta $};

\end{tikzpicture}}\)

Prawdopodobieństwo, że tak się stanie wynosi

$\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\left( x,y\right)\in\Delta \right)= \frac{\mu\left(\Delta \right) }{\mu\left( \left[ 0,1\right]^2 \right)}}$

Dwakoty · Post autor: **Dwakoty** » 30 cze 2019, o 14:47

A jak wyliczyć nasze A? Bo omege rozumiem.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 30 cze 2019, o 14:57

$\displaystyle{ a}$ jest parametrem od którego zależy wartość prawdopodobieństwa nie obliczamy go tylko ostateczny wynik będzie je uwzględniał.

Dwakoty · Post autor: **Dwakoty** » 30 cze 2019, o 14:59

Czyli nasze prawdopodobieństwo to $\displaystyle{ \frac49}$ ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 30 cze 2019, o 15:24

Nie. Policz pole czerwonego trójkąta w zależności od wartości parametru $\displaystyle{ a}$

Dwakoty · Post autor: **Dwakoty** » 30 cze 2019, o 15:31

Jak policzyłem to wyszło $\displaystyle{ \frac{1}{2x \cdot y}}$.

Gosda · Post autor: **Gosda** » 30 cze 2019, o 15:32

Janusz Tracz, a czy przypadkiem nie powinniśmy napisać nieco inaczej:

$\displaystyle{ \begin{cases} a \le \min(x,y) \\ a \le 1 - \max(x,y) \\ a \le |x-y| \end{cases}}$,

bo w Twoim rysunku podstawienie $\displaystyle{ a = 0}$ daje nie do końca poprawną odpowiedź $\displaystyle{ 1/2}$.

Dwakoty · Post autor: **Dwakoty** » 30 cze 2019, o 15:34

Będę wdzięczny jeśli ktoś zrobi to od a do z, bo próbuje to zrozumieć ale nie mam zielonego pojęcia jedynie jestem pewny omegi.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 30 cze 2019, o 15:44

Dwakoty $\displaystyle{ 1/2x*y}$ to na pewno zła odpowiedź niezależnie od tego czy zrobiłem to dobrze czy źle. Każda odpowiedź z literkami innymi niż $\displaystyle{ a}$ jest błędna.
Gosda myślałem nad tym ale ostatecznie zostawiłem bo wartości $\displaystyle{ x,y,1-x-y}$ traktuję jak długości (czyli nie losuję punktów tylko długości). Ale faktycznie to chyba będzie błędne bo nie mogę wylosować długości większych niż $\displaystyle{ \frac{1}{2}}$ dwa razy (rysunek jednak wskazuje na coś innego). Dzięki za czujność.