N par butów.
-
Piasek96
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 18 mar 2018, o 00:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kołobrzeg
N par butów.
Spośród \(\displaystyle{ n}\) par butow wybrano losowo \(\displaystyle{ 2r}\) butow (\(\displaystyle{ 2r<n}\)). Jakie jest prawdopodobieństwo ze wśród nich nie ma ani jednej pary?
Ostatnio zmieniony 1 lip 2019, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
N par butów.
Piasek96 - co Pan samodzielnie potrafi rozwiązać, bo jak na razie widać że nic, dając wszystkie swoje zadania na forum?
Na czym polega doświadczenie losowe opisane w treści zadania?
Jaki jest zbiór wszystkich możliwych jego wyników \(\displaystyle{ \Omega?}\)
Zbiór butów lewej nogi: \(\displaystyle{ L =\{L_{1}, L_{2}, ..., L_{n}\}}\)
Zbiór butów prawej nogi: \(\displaystyle{ P=\{ P_{1}, P_{2},...,P_{n}\}}\)
Para butów \(\displaystyle{ (L_{k}, P_{k}), k=1,2,... n}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " wśród wybranych butów nie ma ani jednej pary"
Układy sprzyjające:
\(\displaystyle{ 0}\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ 2r}\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ P;}\)
Takich układów jest \(\displaystyle{ {n\choose o}\cdot {n\choose 2r}}\)
\(\displaystyle{ 1}\) but ze zbioru \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ (2r-1)}\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ P;}\)
z wyłączeniem buta od pary z \(\displaystyle{ L}\)
Takich układów jest \(\displaystyle{ {n\choose 1}\cdot {n-1 \choose 2r -1}.}\)
....................................................................................
\(\displaystyle{ r}\) butów z \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ (2r -r)}\) butów z \(\displaystyle{ P}\) z wyłączeniem \(\displaystyle{ r}\) tych od pary z \(\displaystyle{ L}\)
Takich możliwości jest
\(\displaystyle{ {n\choose r}\cdot {n-r \choose 2r - r}, \ \ 2r< n.}\)
Stąd wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\) jest
\(\displaystyle{ |A|= \sum_{i=0}^{2r}{n\choose i}\cdot {n - i\choose 2r -i} = {n\choose 2r}\sum_{i=0}^{2r}{2r \choose i} = {n\choose 2r}\cdot 2^{2r}}\)
Szukane prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{n\choose 2r}\cdot 2^{2r}}{{2n \choose 2r}}.}\)
Wybierając losowo spośród \(\displaystyle{ n}\) par butów \(\displaystyle{ 2r}\) butów, można spodziewać się , że w \(\displaystyle{ \frac{{n\choose 2r}\cdot 2^{2r}}{{2n \choose 2r}}\cdot 100\%}\) wszystkich losowań - nie będzie ani jednej pary.
Na czym polega doświadczenie losowe opisane w treści zadania?
Jaki jest zbiór wszystkich możliwych jego wyników \(\displaystyle{ \Omega?}\)
Zbiór butów lewej nogi: \(\displaystyle{ L =\{L_{1}, L_{2}, ..., L_{n}\}}\)
Zbiór butów prawej nogi: \(\displaystyle{ P=\{ P_{1}, P_{2},...,P_{n}\}}\)
Para butów \(\displaystyle{ (L_{k}, P_{k}), k=1,2,... n}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " wśród wybranych butów nie ma ani jednej pary"
Układy sprzyjające:
\(\displaystyle{ 0}\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ 2r}\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ P;}\)
Takich układów jest \(\displaystyle{ {n\choose o}\cdot {n\choose 2r}}\)
\(\displaystyle{ 1}\) but ze zbioru \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ (2r-1)}\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ P;}\)
z wyłączeniem buta od pary z \(\displaystyle{ L}\)
Takich układów jest \(\displaystyle{ {n\choose 1}\cdot {n-1 \choose 2r -1}.}\)
....................................................................................
\(\displaystyle{ r}\) butów z \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ (2r -r)}\) butów z \(\displaystyle{ P}\) z wyłączeniem \(\displaystyle{ r}\) tych od pary z \(\displaystyle{ L}\)
Takich możliwości jest
\(\displaystyle{ {n\choose r}\cdot {n-r \choose 2r - r}, \ \ 2r< n.}\)
Stąd wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\) jest
\(\displaystyle{ |A|= \sum_{i=0}^{2r}{n\choose i}\cdot {n - i\choose 2r -i} = {n\choose 2r}\sum_{i=0}^{2r}{2r \choose i} = {n\choose 2r}\cdot 2^{2r}}\)
Szukane prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{n\choose 2r}\cdot 2^{2r}}{{2n \choose 2r}}.}\)
Wybierając losowo spośród \(\displaystyle{ n}\) par butów \(\displaystyle{ 2r}\) butów, można spodziewać się , że w \(\displaystyle{ \frac{{n\choose 2r}\cdot 2^{2r}}{{2n \choose 2r}}\cdot 100\%}\) wszystkich losowań - nie będzie ani jednej pary.