Umieszczono losowo dwa punkty

[Piasek96]

Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty, L i M. Oblicz prawdopodobieństwo, że
z punktu L jest bliżej do M niż do A.

[Gosda]

Wskazówka: co jest bardziej prawdobodobne:
- że punkt \(\displaystyle{ L}\) będzie przed punktem \(\displaystyle{ M}\)
- czy że punkt \(\displaystyle{ M}\) będzie przed punktem \(\displaystyle{ L}\)?

[Janusz Tracz]

Oznaczmy:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1]
%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300

%Straight Lines [id:da09044772118503541]
\draw (190,110) -- (440,110) ;
\draw [shift={(440,110)}, rotate = 0] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (0, 0) circle [x radius= 3.35, y radius= 3.35] ;
\draw [shift={(190,110)}, rotate = 0] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (0, 0) circle [x radius= 3.35, y radius= 3.35] ;
%Straight Lines [id:da9371641597971132]
\draw (260,110) -- (340,110) ;
\draw [shift={(340,110)}, rotate = 0] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (0, 0) circle [x radius= 3.35, y radius= 3.35] ;
\draw [shift={(260,110)}, rotate = 0] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (0, 0) circle [x radius= 3.35, y radius= 3.35] ;
%Shape: Brace [id:dp7011633518960523]
\draw (190.9,120.52) .. controls (190.83,125.19) and (193.13,127.55) .. (197.8,127.62) -- (214.8,127.87) .. controls (221.47,127.97) and (224.76,130.35) .. (224.69,135.02) .. controls (224.76,130.35) and (228.13,128.07) .. (234.8,128.16)(231.8,128.12) -- (251.8,128.41) .. controls (256.47,128.48) and (258.83,126.19) .. (258.9,121.52) ;
%Shape: Brace [id:dp18535486236821308]
\draw (185.9,146.52) .. controls (185.87,151.19) and (188.18,153.54) .. (192.85,153.57) -- (256.67,153.99) .. controls (263.34,154.04) and (266.66,156.39) .. (266.63,161.06) .. controls (266.66,156.39) and (270,154.08) .. (276.67,154.12)(273.67,154.1) -- (329.85,154.47) .. controls (334.52,154.5) and (336.87,152.19) .. (336.9,147.52) ;

% Text Node
\draw (180,100) node {$\mathcal{A}$};
% Text Node
\draw (450,100) node {$\mathcal{B}$};
% Text Node
\draw (248,100) node {$\mathcal{L}$};
% Text Node
\draw (320,100) node {$\mathcal{M}$};
% Text Node
\draw (223,140) node {$x$};
% Text Node
\draw (267,170) node {$y$};


\end{tikzpicture}}\)

pytanie o to czy \(\displaystyle{ |x-y| \le |x|}\). Nierówność ta zadaje jakieś pole w kwadracie \(\displaystyle{ \left[ 0,l\right]^2}\) jaki jest jego udział do pola ów kwadratu \(\displaystyle{ \Omega=\left[ 0,l\right]^2}\)

[janusz47]

Prawdopodobieństwo geometryczne

Niech

\(\displaystyle{ |\overline{AB}| = l,}\)

\(\displaystyle{ x = \overline{AL}, \ \ y = \overline{AM}}\)

\(\displaystyle{ 0 \leq (x,y) \leq l}\)

\(\displaystyle{ \Omega = \{ (x,y ): 0\leq x \leq l, \ \ 0\leq y \leq l \}}\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = l^2}\)

Zdarzeniu sprzyjającemu \(\displaystyle{ A}\) odpowiada zbiór punktów kwadratu o boku długości \(\displaystyle{ l}\)

\(\displaystyle{ A = \{ (x,y): |y- x| \leq x \} = \{ (x, y): 0 \leq y \leq 2x \}}\)


Jeśli wykonamy rysunek kwadratu o boku długości \(\displaystyle{ l,}\) którego wierzchołek odpowiadający punktowi \(\displaystyle{ A}\) umieścimy w początku prostokątnego układu współrzędnych, to zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\)odpowiada zbiór punktów należących do trapezu o polu:

\(\displaystyle{ |A| = \frac{l + \frac{l}{2}}{2}\cdot l = \frac{3}{4}l^2}\)

Szukane prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\frac{3}{4}l^2}{l^2} = \frac{3}{4}}\)

Drugi sposób

Zdarzeniu przeciwnemu \(\displaystyle{ \overline{A}}\)odpowiada zbiór punktów należących do trójkąta prostokątnego o polu:

\(\displaystyle{ |\overline{A}|= \frac{1}{2}l \cdot \frac{l}{2} = \frac{1}{4}l^2}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{l^2 - \frac{1}{4}l^2}{l^2} = \frac{3}{4}.}\)

Umieszczając losowo dwa punkty \(\displaystyle{ L, M}\) na odcinku \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) długości \(\displaystyle{ l}\) - możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 75\%}\) ogólnej liczby rozmieszczeń punkt \(\displaystyle{ L}\) będzie leżał bliżej punktu \(\displaystyle{ M}\) niż od punktu \(\displaystyle{ A.}\)