Zmienna losowa na rozkład gęstości, wyznacz dystrybuantę i P

[AnnaTorr]

Witam! Proszę o rozwiązanie i opisanie w jaki sposób takie zadanie się rozwiązuję.

Zmienna losowa ma rozkład gęstości \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \begin{cases} a \left( x^2 - \frac{9}{x^3} \right)&\text{gdy }x \in \left\langle 1,3 \right\rangle\\ 0 &\text{poza tym}\end{cases}}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) oraz dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\), a następnie oblicz \(\displaystyle{ P \left( X>2 \right)}\).

[Janusz Tracz]

Wartość \(\displaystyle{ a}\) określisz korzystając z faktu iż całka z gęstości pod \(\displaystyle{ \RR}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) zachodzi bowiem:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{+ \infty }f(x) \mbox{d}x =1}\)

w tym przypadku całka jest istotna tylko na \(\displaystyle{ \left[ 1,3\right]}\) (wszak wszędzie indziej jest zerem) zatem:

\(\displaystyle{ \int_{1 }^{3 }a\left( x^2- \frac{9}{x^3} \right) \mbox{d}x =1 \ \ \Rightarrow \ \ a= \frac{1}{\int_{1 }^{3 }\left( x^2- \frac{9}{x^3} \right) \mbox{d}x}= \frac{3}{14}}\)

Mając określoną gęstość można określić dystrybuantę jako :

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{- \infty }^{x}f(t) \mbox{d}t}\)

co w tym przypadku daje \(\displaystyle{ F(x)}\) stale równe zero dla \(\displaystyle{ x<1}\) a dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) dystrybuanta wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{3}{14} \int_{1 }^{x}\left( t^2- \frac{9}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

jednak wzór ten obowiązuje do \(\displaystyle{ x \le 3}\) potem dystrybuanta jest już równa \(\displaystyle{ 1}\). A prawdopodobieństwo możesz wyrazić za pomocą dystrybuanty.

W tym przypadku lepiej zastosować wzór na prawdopodobieństwo przeciwne co daje:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X>2\right)=1-F(2)= 1-\frac{3}{14} \int_{1 }^{2}\left( t^2- \frac{9}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

[AnnaTorr]

Zmienna losowa ma rozkład gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} a (x - \frac{4}{x^2}) , gdy; x \in <2,4>\\ 0, poza; tym\end{cases}}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) oraz dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\), a następnie oblicz\(\displaystyle{ P(X>2.5)}\).


\(\displaystyle{ \int_{2 }^{4 }a\left( x - \frac{4}{x^2} \right) \mbox{d}x =1 \ \ \Rightarrow \ \ a= \frac{1}{\int_{2 }^{4 }a\left( x - \frac{4}{x^2} \right) \mbox{d}x}= \frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{5} \int_{2 }^{x}\left( t^2- \frac{4}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X>2.5\right)=1-F(2)= 1-\frac{1}{5} \int_{2 }^{x}\left( t^2- \frac{4}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

Dobrze ten przykład będzie?

To już jest wynik czy jeszcze dalej się to liczy?
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{5} \int_{2 }^{x}\left( t^2- \frac{4}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \int_{2 }^{4 }a\left( x - \frac{4}{x^2} \right) \mbox{d}x =1 \ \ \Rightarrow \ \ a= \frac{1}{\int_{2 }^{4 }{\red{a}}\left( x - \frac{4}{x^2} \right) \mbox{d}x}= \frac{1}{5}}\)

Prawie. Kopiuj wklej zawiodło po raz pierwszy. Powinno być

\(\displaystyle{ \int_{2 }^{4 }a\left( x - \frac{4}{x^2} \right) \mbox{d}x =1 \ \ \Rightarrow \ \ a= \frac{1}{\int_{2 }^{4 }\left( x - \frac{4}{x^2} \right) \mbox{d}x}= \frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{5} \int_{2 }^{x}\left({\red{ t^2- \frac{4}{t^3}}} \right) \mbox{d}t}\)

Bez komentarza to tylko matematyczny wzorek ten wzór obowiązuje dla \(\displaystyle{ x\in\left[ 2,4\right]}\) poza tym jest zero albo jeden gdzie dokładnie? Swoją drogą funkcja podcałkowa jest źle. Kopij wklej zawiodło po raz drugi.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X>2.5\right)=1-F({\red{2}})= 1-\frac{1}{5} \int_{2 }^{{\red{x}}}\left({\red{ t^2- \frac{4}{t^3}}} \right) \mbox{d}t}\)

Kopij wklej zawiodło po raz trzeci.

\(\displaystyle{ 3:0}\) dla kopiuj wklej. Wnioski wyciągnij sam.

-- 27 cze 2019, o 17:29 --

To już jest wynik czy jeszcze dalej się to liczy?
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{5} \int_{2 }^{x}\left( t^2- \frac{4}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

Nie. To co napisałeś jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\), chcąc otrzymać wynik trzeba podstawić \(\displaystyle{ x=2,5}\) można to zrobić za pomocą tego woru bo \(\displaystyle{ 2,5\in\left[ 2,4\right]}\)

[AnnaTorr]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X>2\right)=1-F(2)= 1-\frac{3}{14} \int_{1 }^{2}\left( t^2- \frac{9}{t^3} \right) \mbox{d}t}\)

Tutaj za \(\displaystyle{ \int_{1 }^{2}\left( t^2- \frac{9}{t^3} \right) \mbox{d}t}\) podstawiam \(\displaystyle{ \frac{14}{3}}\)

i mam

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X>2\right)=1-F(2)= 1-\frac{3}{14} \int_{1 }^{2}\left( t^2- \frac{9}{t^3} \right) \mbox{d}t = 1 -\left ( \frac{3}{14} \cdot \frac{14}{3} \right) = 1 - 1 = 0}\)

Dobrze?

[janusz47]

Proszę jeszcze raz obliczyć:

\(\displaystyle{ 1 - F(2) = 1 - \int_{1}^{2} f(x) dx =...}\)

lub

\(\displaystyle{ Pr(\{ X>2\}) = \int_{2}^{3} f(x)dx =....}\)

-- 28 cze 2019, o 10:46 --

Proszę poprawić dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x).}\)-- 28 cze 2019, o 11:27 --Dla
\(\displaystyle{ x \leq 1}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{x} 0dt = 0;}\)

\(\displaystyle{ 1 <x \leq 3}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-\infty}^{1}0dt + \frac{3}{14} \int_{1}^{x} \left( t^2 - \frac{9}{t^3}\right)dt = \frac{1}{14}x^3 + \frac{27}{28x^2} -\frac{87}{84};}\)

\(\displaystyle{ x> 3}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-\infty}^{1}0dt + \frac{3}{14}\int_{1}^{3}\left( t^3 - \frac{9}{t^2}\right)dt + \int_{3}^{\infty} 0 dt = 1.}\)