Jakie jest prawdopodobieństwo

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

Jakie jest prawdopodobieństwo, tego, że po rozdaniu kart do brydża ustalony gracz otrzyma cztery karty tej samej wysokości(tzn. cztery dwójki, cztery trójki, ...,cztery asy)?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Niech \(\displaystyle{ A_i,i \in \left\{ 1,2,...,13\right\}}\) oznacza otrzymanie czwórki danej wysokości. Interesuje nas moc zbioru \(\displaystyle{ |A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_{13}|}\). Z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ |A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_{13}|= {13 \choose 1} {48 \choose 9}- {13 \choose 2} {44 \choose 5}+ {13 \choose 3} {40 \choose 1}}\)

Czy tak jest dobrze?
korki_fizyka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 656
Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 74 razy

Re: Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: korki_fizyka »

\(\displaystyle{ P = \frac{13}{ {52 \choose 4} } \approx 4,8 \cdot 10^{-5}}\)-- 7 lip 2019, o 11:03 --Nie wiem czemu nie można teraz edytować własnych postów ? wiec pisze erratę:
\(\displaystyle{ P = \frac{13 {48 \choose 9} }{ {52 \choose 13} } \approx 3,4}\)%

natomiast jeśli konkretny gracz (np. N lub W) ma dostać karetę asów, króli,..,dwójek,
to wynik trzeba podzielić przez 3! zatem \(\displaystyle{ P \approx 0,57}\)%.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

No, ale to chyba zliczasz wielokrotnie to samo, bo jak na \(\displaystyle{ 13}\) sposobów wybierasz tą czwórkę np. dwójek, to wśród pozostałych \(\displaystyle{ 9}\), może się trafić czwórka trójek i \(\displaystyle{ 5}\) jakiś innych kart, a potem jak zliczasz czwórkę trójek to wśród pozostałych może się trafić czwórka dwójek i 5 innych kart, a to jest to samo.

Tak jak zrobiłem jest chyba w porządku, w sensie to prawdopodobieństwo według mnie będzie wynosić:
\(\displaystyle{ P= \frac{{13 \choose 1} {48 \choose 9}- {13 \choose 2} {44 \choose 5}+ {13 \choose 3} {40 \choose 1}}{{52 \choose 13}}}\).

Czy ktoś to może potwierdzić, albo zaprzeczyć?
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: Gosda »

Potwierdzam ( ... poker-game)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: janusz47 »

Poker to nie brydż, w którym otrzymujemy na rękę nie \(\displaystyle{ 13}\) lecz \(\displaystyle{ 5}\) kart.

max123321 , w jaki sposób stosując zasadę "włączeń i wyłączeń", otrzymujesz swoje rozwiązanie? Jest to rzeczywiście zadanie na zastosowanie między tej metody w budowie modelu probabilistycznego gry w brydża.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

No robię tak, że najpierw wybieram wysokość czwórki i następnie dorzucam dziewięć byle jakich kart. To jest składnik \(\displaystyle{ {13 \choose 1} {48 \choose 9}}\). Potem od tego odejmuje układy z dwiema czwórkami, to znaczy najpierw wybieram dwie wysokości kart z trzynastu a pozostałe pięć kart dorzucam byle jak. To jest składnik \(\displaystyle{ - {13 \choose 2} {44 \choose 5}}\). No i na końcu analogicznie dodaje układy z trzema czwórkami, to znaczy z trzynastu wysokości wybieram trzy na pozostałą jedną kartą dorzucam byle jak. To jest składnik \(\displaystyle{ {13 \choose 3} {40 \choose 1}}\). Czy tak jest zatem dobrze?
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: Gosda »

Tak, jest dobrze.

janusz47 - linkowane przeze mnie zadanie zaczyna się od "What is the probability of getting FOUR OF A KIND in a 13-card poker game?". Można się spierać, czy to ma sens, czy nie - faktycznie w zwykłym pokerze być może rozdaje się inną liczbę kart. Ale generalnie jest to ten sam matematyczny problem, co tutaj.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Jakie jest prawdopodobieństwo

Post autor: janusz47 »

Nie jest to ten sam problem matematyczny z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa, bo inne mamy doświadczenie losowe. W pokerze dostajemy pięć kart na rękę, a nie jak w brydżu trzynaście.
ODPOWIEDZ