Wektor losowy X i Y

[szerwol]

Hej. Na egzaminie zaskoczyło mnie takie zadanie i nie mam zielonego pojęcia jak się za nie zabrać.
Rozkłady brzegowe umiem policzyć raptem z tabelki
Znalazłem wzór \(\displaystyle{ f_{X}(x)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy}\) i adekwatny do niego \(\displaystyle{ f_{Y}(y)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx}\). Na przykładzie który znalazłem rozkład wynosi

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}
6xy &\textrm{ dla } 0\le x\le 1\textrm{, } 0\le y \le 1 \\
0 &\textrm{ dla pozostałych}
\end{cases}}\)

Tam rozkłady brzegowe są policzone tak:
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy = \begin{cases}
0 &\text{gdy }x\le 0\textrm{ lub } x \ge 1, \\
\int_{0}^{\sqrt{x}}6xydy = 3x^2 &\text{gdy } 0<x<1
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx = \begin{cases}
0 &\text{gdy }y\le 0\textrm{ lub } y \ge 1, \\
\int_{y_2}^{1}6xydy = 3y - 3y^{5} &\text{gdy } 0<y<1
\end{cases}}\)
Nie wiem skąd wzięło się \(\displaystyle{ y^2}\) w całce w tym drugim brzegowym

Bardzo proszę o wyjaśnienie tego na poniższym zadaniu.


Niech dany będzie wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)}\) danej wzorem

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{5} &\textrm{ dla } 0<x<1, 2<y<7 \\ 0 &\textrm{ dla pozostałych } x,y\end{cases}}\)

• a) policzyć rozkłady brzegowe
  b) podaj współczynnik korelacji dla zmiennych \(\displaystyle{ X \textrm{, } Y}\)

Współczynnik korelacji to będzie \(\displaystyle{ cov(X,Y)=EXY-EXEY}\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ f_{X} (x) = \int_{2}^{7}f(x,y) dy = \int_{2}^{7}\frac{1}{5}dy = \frac{1}{5}\left[ y \right]_{2}^{7} = \frac{7}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1, \ \ x\in[ 0,1].}\)

\(\displaystyle{ f_{Y} (y) = \int_{0}^{1}f(x,y) dy = \int_{0}^{1}\frac{1}{5}dx = \frac{1}{5}\left[ x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}, \ \ y \in [2, 7].}\)

Współczynnik korelacji zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\)

\(\displaystyle{ \rho( X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)\cdot Var(Y)}}}\)

\(\displaystyle{ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)\cdot E(Y)}\)

Czy zmienne losowe\(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne?

\(\displaystyle{ f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) = 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} = f(x,y)}\)

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Proszę sprawdzić, że współczynnik korelacji między nimi \(\displaystyle{ \rho(X,Y) = 0,}\)

obliczając kolejno

\(\displaystyle{ E(XY) = \int_{2}^{7}\int_{0}^{1} \frac{1}{5}x y dx dy =...}\)

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{1}x\cdot f_{X}(x) = ....}\)

\(\displaystyle{ E(Y) = \int_{2}^{7} y\cdot f_{Y}(y)dy=...}\)

\(\displaystyle{ Var(X) = \int_{0}^{1} [x - E(X)]^2\cdot f_{X}(x)dx = ...}\)

\(\displaystyle{ Var(Y) = \int_{2}^{7}[ y- E(Y)]^2 \cdot f_{Y}(y)dy =...}\)