Mamy \(\displaystyle{ 10}\) kopert. W \(\displaystyle{ 9}\) z nich znajduje się \(\displaystyle{ 100}\) zł a w \(\displaystyle{ 1}\) znajduje się karteczka z napisem \(\displaystyle{ 50\%}\). Wybieramy ile chcemy kopert. Jeżeli wśród naszych wybranych kopert znajdzie się karteczka z napisem \(\displaystyle{ 50\%}\), to wygrywamy tylko połowę kwoty znajdującą się w wylosowanych kopertach. Ile kopert powinniśmy wybrać, by zmaksymalizować wartość oczekiwaną?
Z góry dziękuję za pomoc.
Zmaksymalizować wartość oczekiwaną
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zmaksymalizować wartość oczekiwaną
Przy wyborze \(\displaystyle{ k\ge 1}\) kopert mamy \(\displaystyle{ {9\choose k}}\) układów, w których wybraliśmy same stówy oraz \(\displaystyle{ {9\choose k-1}}\) układów, w których wybraliśmy \(\displaystyle{ k-1}\) kopert ze stówami i tę z napisem \(\displaystyle{ 50\%}\).
Zatem wygrywamy
\(\displaystyle{ 100k}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{{9\choose k}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}}\) oraz \(\displaystyle{ 50(k-1)}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{{9\choose k-1}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}}\).
Należy więc zmaksymalizować wyrażenie
\(\displaystyle{ 100k \cdot \frac{{9\choose k}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}+50(k-1)\cdot \frac{{9\choose k-1}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}\\= \frac{100k {9\choose k}+50(k-1){9\choose k-1}}{{10\choose k}}}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\left\{ 1,2,3\ldots 10\right\}}\).
Nie jest to trudne.-- 23 cze 2019, o 00:55 --Pewnie da się to sprytniej zrobić, ale na to jestem za głupi…
Zatem wygrywamy
\(\displaystyle{ 100k}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{{9\choose k}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}}\) oraz \(\displaystyle{ 50(k-1)}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{{9\choose k-1}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}}\).
Należy więc zmaksymalizować wyrażenie
\(\displaystyle{ 100k \cdot \frac{{9\choose k}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}+50(k-1)\cdot \frac{{9\choose k-1}}{{9\choose k}+{9\choose k-1}}\\= \frac{100k {9\choose k}+50(k-1){9\choose k-1}}{{10\choose k}}}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\left\{ 1,2,3\ldots 10\right\}}\).
Nie jest to trudne.-- 23 cze 2019, o 00:55 --Pewnie da się to sprytniej zrobić, ale na to jestem za głupi…
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 6 cze 2019, o 11:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
Zmaksymalizować wartość oczekiwaną
Oczywiście dla \(\displaystyle{ k=10}\) nie będzie ten wzór działać, bo jest tylko jeden układ i wtedy wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ 450}\) zł .
Widzę, że ten wzór działa tak samo jak coś prostszego na co kolega wpadł:
Dla \(\displaystyle{ k=9}\) mamy \(\displaystyle{ 1}\) układ gdy wybieramy \(\displaystyle{ 9}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 9}\) układów gdy wybieramy \(\displaystyle{ 8}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 1}\) kopertę z \(\displaystyle{ 50\%}\).
Więc mamy \(\displaystyle{ \frac{1\cdot 9\cdot 100 + 9\cdot 8\cdot 50}{10}}\).
Dla \(\displaystyle{ k=8}\) mamy \(\displaystyle{ 2}\) układy gdy wybieramy \(\displaystyle{ 8}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 8}\) układów gdy wybieramy \(\displaystyle{ 7}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 1}\) kopertę z \(\displaystyle{ 50\%}\).
Więc mamy \(\displaystyle{ \frac{2\cdot 8\cdot 100 + 9\cdot 7\cdot 50}{10}}\).
I ogólny wzór wyszedł:
\(\displaystyle{ (10-k)\cdot k\cdot 10 + k\cdot (k-1)\cdot 5}\). A tu już jest łatwo policzyć pochodną.
Kolega starał się to argumentować, że to jest liczba wyborów rozmieszczeń kuli przegrywającej (koperta \(\displaystyle{ 50 \%}\)) w \(\displaystyle{ 10}\) pojemnikach. Niestety ja zupełnie tego nie widzę. Jak to można uargumentować?
Widzę, że ten wzór działa tak samo jak coś prostszego na co kolega wpadł:
Dla \(\displaystyle{ k=9}\) mamy \(\displaystyle{ 1}\) układ gdy wybieramy \(\displaystyle{ 9}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 9}\) układów gdy wybieramy \(\displaystyle{ 8}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 1}\) kopertę z \(\displaystyle{ 50\%}\).
Więc mamy \(\displaystyle{ \frac{1\cdot 9\cdot 100 + 9\cdot 8\cdot 50}{10}}\).
Dla \(\displaystyle{ k=8}\) mamy \(\displaystyle{ 2}\) układy gdy wybieramy \(\displaystyle{ 8}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 8}\) układów gdy wybieramy \(\displaystyle{ 7}\) kopert po \(\displaystyle{ 100}\)zł i \(\displaystyle{ 1}\) kopertę z \(\displaystyle{ 50\%}\).
Więc mamy \(\displaystyle{ \frac{2\cdot 8\cdot 100 + 9\cdot 7\cdot 50}{10}}\).
I ogólny wzór wyszedł:
\(\displaystyle{ (10-k)\cdot k\cdot 10 + k\cdot (k-1)\cdot 5}\). A tu już jest łatwo policzyć pochodną.
Kolega starał się to argumentować, że to jest liczba wyborów rozmieszczeń kuli przegrywającej (koperta \(\displaystyle{ 50 \%}\)) w \(\displaystyle{ 10}\) pojemnikach. Niestety ja zupełnie tego nie widzę. Jak to można uargumentować?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zmaksymalizować wartość oczekiwaną
Nie zgodzę się, dla \(\displaystyle{ k=10}\) mamy \(\displaystyle{ {9\choose 10}=0}\) i mój wzór jak najbardziej działa, choć wtedy stosowanie go jest może mało naturalne, bo od razu widać, jaka jest wygrana.
Zamiast liczenia pochodnej można też sobie inaczej porównać, wszak otrzymujemy trójmian kwadratowy (ale muszę przyznać, że sam często różniczkuję trójmiany, gdy współczynniki nie są szczególnie ładne).
Co do tego prostszego podejścia, nie mam niestety pomysłu na uzasadnienie.
Zamiast liczenia pochodnej można też sobie inaczej porównać, wszak otrzymujemy trójmian kwadratowy (ale muszę przyznać, że sam często różniczkuję trójmiany, gdy współczynniki nie są szczególnie ładne).
Co do tego prostszego podejścia, nie mam niestety pomysłu na uzasadnienie.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 6 cze 2019, o 11:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
Re: Zmaksymalizować wartość oczekiwaną
W sumie tak, racja z tym \(\displaystyle{ k=10}\).
Wytłumaczył mi tak, że wybieramy losowo \(\displaystyle{ 1}\) pojemnik (kopertę) z \(\displaystyle{ k}\) kopert \(\displaystyle{ {k\choose 1}}\) i rozpatrujemy \(\displaystyle{ 2}\) przypadki. Kula (koperta z \(\displaystyle{ 50\%}\)) znalazła się w naszym pojemniku lub znalazła się w pozostałych \(\displaystyle{ k-1}\) kopertach, więc mamy \(\displaystyle{ {k-1\choose 1}}\) przypadków. I dzielimy przez \(\displaystyle{ {10 \choose 1}}\). Liczba wyborów \(\displaystyle{ 1}\) kuli spośród \(\displaystyle{ 10}\) kul. Ogólnie to dziękuję za pomoc!
Wytłumaczył mi tak, że wybieramy losowo \(\displaystyle{ 1}\) pojemnik (kopertę) z \(\displaystyle{ k}\) kopert \(\displaystyle{ {k\choose 1}}\) i rozpatrujemy \(\displaystyle{ 2}\) przypadki. Kula (koperta z \(\displaystyle{ 50\%}\)) znalazła się w naszym pojemniku lub znalazła się w pozostałych \(\displaystyle{ k-1}\) kopertach, więc mamy \(\displaystyle{ {k-1\choose 1}}\) przypadków. I dzielimy przez \(\displaystyle{ {10 \choose 1}}\). Liczba wyborów \(\displaystyle{ 1}\) kuli spośród \(\displaystyle{ 10}\) kul. Ogólnie to dziękuję za pomoc!
Ostatnio zmieniony 24 cze 2019, o 01:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.