Gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) to \(\displaystyle{ g(x,y)= \frac{1}{x}_{\left\{ 0<y<x<1\right\} }(x,y)}\). Proszę wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y oraz wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ EY}\), a także rozstrzygnąć czy zmienne losowe \(\displaystyle{ Y/X}\) i \(\displaystyle{ X}\) są niezależne.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right]}\):
\(\displaystyle{ F_y(t)= \int_{}^{} \int_{0<x \le t,0<y<1,y<x,x<1}^{} \frac{1}{x}dydx=}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \int_{0}^{x} \frac{1}{x}dydx= \int_{0}^{t}1dx=t}\)
Czyli dystrybuanta ma postać:
\(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t \le 0 \\t \text{ dla } 0<t \le 1\\1 \text{ dla } 1<t\end{cases}}\)
Gęstość:
\(\displaystyle{ f_Y(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t \le 0 \\ 1 \text{ dla } 0<t \le 1\\0 \text{ dla } 1<t \end{cases}}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ EY= \int_{-\infty}^{\infty}tf(t)dt= \int_{0}^{1}tdt= \frac{1}{2}}\)
Czy tak jest dobrze?
Ok, a jak sprawdzić niezależność zmiennych \(\displaystyle{ Y/X}\) i \(\displaystyle{ X}\) ?