Maszyna w tartaku

[max123321]

Maszyna w tartaku produkuje deski o długości \(\displaystyle{ 200+a+b}\) cm przy nastawieniu \(\displaystyle{ a \in \left\{ 1,2,...,10\right\}}\) i błędzie \(\displaystyle{ b}\). Maszyna zepsuła się i wyprodukowała deskę wybierając nastawienie \(\displaystyle{ a}\) losowo (Każda wartość ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...,10\right\}}\) jest jednakowo prawdopodobna) i popełniając, niezależny od wyboru nastawienia \(\displaystyle{ a}\), błąd \(\displaystyle{ b}\) o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -1,1 \frac{1}{2} \right]}\). Proszę obliczyć prawdopodobieństwo, tego, że została wylosowana nastawa \(\displaystyle{ a=7}\) pod warunkiem, że długość wyprodukowanej deski (mierzona w centymetrach) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 206,207\right]}\).

Jak to zrobić?

[janusz47]

\(\displaystyle{ a\sim\mathcal{U}(10)}\)

\(\displaystyle{ b\sim \mathcal{U}( [-1, 1.1/2])}\)

\(\displaystyle{ Pr(A|B) = \frac{Pr (a = 7 \cap ( 206 \leq L \leq 207))}{Pr( 206 \leq L \leq 207)} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ Pr( 206 \leq L \leq 207) = Pr( 206 \leq 200+a +b \leq 207) = Pr( 6\leq a+b \leq 7) \ \ (2)}\)

Proszę znaleźć gęstość sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ a +b}\) i obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ (2)}\), a następnie prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(A|B).}\)