Rzeczywiste zmienne losowe

[max123321]

Rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne przy czym, \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)=1/2}\) zaś \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy i \(\displaystyle{ EY=2}\). Proszę wyznaczyć gęstość zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y^2,Y^2X,X+Y^2}\).

To na razie to \(\displaystyle{ Y^2}\). Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Dystrybuanta \(\displaystyle{ Y}\) jest równa \(\displaystyle{ F(x)=1-e^{-\lambda x}}\). Jeśli \(\displaystyle{ t<0}\) to
\(\displaystyle{ P(Y^2 \le t)=0}\), a jeśli \(\displaystyle{ t>0}\) to
\(\displaystyle{ P(Y^2 \le t)=P(- \sqrt{t} \le Y \le \sqrt{t})=F(\sqrt{t})-F(- \sqrt{t})=1-e^{-\lambda \sqrt{t}}-(1-e^{\lambda \sqrt{t}}) =e^{\lambda \sqrt{t}}-e^{-\lambda \sqrt{t}}}\).
Czyli gęstość jest równa:
\(\displaystyle{ f(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t<0 \\ \frac{\lambda}{2\sqrt{t}}e^{\lambda \sqrt{t}}+\frac{\lambda}{2\sqrt{t}}e^{-\lambda \sqrt{t}} \text{ dla } t \ge 0 \end{cases}}\).

Czy tak jest dobrze?

[Premislav]

Ojej no, mówię, parafrazując tytuł utworu Commy, sto tysięcy jednakowych zadań. Znowu dystrybuanty, znowu gęstości, lepiej coś więcej na prawo wielkich liczb czy jakieś funkcje charakterystyczne.

Skoro \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym, to \(\displaystyle{ F(-\sqrt{t})=0}\), toteż
dla \(\displaystyle{ t>0}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2\le t)=1-e^{-\lambda \sqrt{t}}}\).
Całka z Twojej „gęstości" jest rozbieżna, co powinno Ci natychmiast unaocznić błąd.

W ogóle polecam coś takiego: otrzymałeś gęstość na drodze jakichś obliczeń? Sprawdź, czy na pewno jest nieujemna i całkuje się do \(\displaystyle{ 1}\). Otrzymałeś dystrybuantę na drodze jakichś obliczeń? Sprawdź, czy w \(\displaystyle{ -\infty}\) ma granicę zero, a w \(\displaystyle{ +\infty}\) granicę jeden i czy jest niemalejąca oraz prawostronnie ciągła. Odpowiedź twierdząca nie musi znaczyć, że jest dobrze, ale przecząca unaocznia Ci błąd.

[max123321]

Dobra już tak się na mnie nie irytuj.

Prawa wielkich liczb czy funkcji charakterystycznych prawdopodobnie nie będę miał na egzaminie, który mam jutro, a dystrybuanty i gęstości raczej tak. Najpierw chcę zrobić podstawowe rzeczy, później ewentualnie jakieś dodatki. Zwłaszcza, że widzisz, że mam z tym problemy.


\(\displaystyle{ P(Y^2 \le t)=P(- \sqrt{t} \le Y \le \sqrt{t})=F(\sqrt{t})-F(- \sqrt{t})=1-e^{-\lambda \sqrt{t}}-(1-e^{\lambda \sqrt{t}}) =e^{\lambda \sqrt{t}}}\)
Czyli gęstość:
\(\displaystyle{ f(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t<0 \\ \frac{\lambda}{2\sqrt{t}}e^{-\lambda \sqrt{t}} \text{ dla } t \ge 0 \end{cases}}\)

Zgadza się?

No dobra, a jak policzyć gęstość \(\displaystyle{ Y^2X}\) ?

[Premislav]

Gęstość jest teraz taka, jaka powinna być, ale w tych poprzedzających przekształceniach coś nie gra (może źle przepisałeś), np.
nieprawdą jest, że
\(\displaystyle{ F(\sqrt{t})-F(- \sqrt{t})=1-e^{-\lambda \sqrt{t}}-(1-e^{\lambda \sqrt{t}}) =e^{\lambda \sqrt{t}}}\)
(dokładniej, żadna z tych dwóch równości nie jest poprawna).

Gęstość \(\displaystyle{ Y^2 X}\)? Ja bym zaczął tak (od strony dystrybuanty i ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2X\le y)\\=\mathbf{P}(X=1)\mathbf{P}(Y^2X\le y|X=1)+\mathbf{P}(X=-1)\mathbf{P}(Y^2X\le y|X=-1)}\)
Poradzisz sobie dalej?

[max123321]

No nie wiem, spróbuję. Liczę tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2X\le t)\\=\mathbf{P}(X=1)\mathbf{P}(Y^2X\le t|X=1)+\mathbf{P}(X=-1)\mathbf{P}(Y^2X\le t|X=-1)=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-e^{-\lambda \sqrt{t}}) \cdot \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} }+ \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-e^{-\lambda \sqrt{t}}) \cdot \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} }=1-e^{-\lambda \sqrt{t}}}\)

Czy tak jest dobrze?