Ciąg niezależnych zmiennych losowych

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że:

\(\displaystyle{ P \left( X_1=0 \right) =P \left( X_1=1 \right) =1/2}\)

\(\displaystyle{ P \left( X_k= \frac{1}{k^2} \right) =P \left( X_k=1 \right) =1/2- \frac{1}{2k^2}}\), \(\displaystyle{ P \left( X_k=-k^3 \right) =P \left( X_k=k^3 \right) = \frac{1}{2k^2}}\), dla \(\displaystyle{ k=2,3,...}\)

Rozstrzygnij czy ciąg

\(\displaystyle{ S_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_k}\)

jest zbieżny prawie na pewno przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). Jeżeli ta granica istnieje znajdź ją.

Jak to zrobić?