Wektor losowy

[max123321]

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma gęstość
\(\displaystyle{ g(x,y)= \begin{cases} Cx &\text{ dla } 0<y<x<1\\ 0 &\text{ w przeciwnym przypadku } \end{cases}}\)
,gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną dodatnią stałą.

a) Znajdź rozkłady zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y, \frac{Y}{X}}\). Jeśli mają one gęstości, podaj je.
b) Czy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \frac{Y}{X}}\) są niezależne?
c) Oblicz kowariancję \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).

Jak zrobić a) ?

[Premislav]

Żeby znaleźć gęstość brzegową \(\displaystyle{ X}\), całkujesz gęstość łączną wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) po \(\displaystyle{ y}\). Podobnie aby znaleźć gęstość rozkładu brzegowego \(\displaystyle{ Y}\), całkujesz gęstość łączną po \(\displaystyle{ x}\). Natomiast rozkład \(\displaystyle{ \frac{Y}{X}}\) możesz znaleźć od strony dystrybuanty, korzystając z tego faktu o wartości oczekiwanej, który Ci parę razy pokazywałem.

\(\displaystyle{ (X,Y)}\) – wektor losowy o rozkładzie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f(x,y)}\),
\(\displaystyle{ g: \RR^2\rightarrow \RR}\) – dowolna funkcja mierzalna.
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X,Y)]=\ldots}\)

[max123321]

Dobra to najpierw wyznaczam stałą \(\displaystyle{ C}\).
Wiem, że \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)dydx=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} Cxdydx=\int_{0}^{1} Cx^2dx= \frac{C}{3}=1}\)
czyli \(\displaystyle{ C=3}\)

To teraz rozkład \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)dy= \int_{0}^{x}3xdy=3x^2}\)
czyli \(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} 3x^2 \text{ dla } 0 \le x \le 1 \\ 0 \text{ w przeciwnym przypadku } \end{cases}}\)

Analogicznie licząc rozkład \(\displaystyle{ Y}\) dostaję:
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\begin{cases} 3/2-3/2y^2 \text{ dla } 0 \le y \le 1 \\ 0 \text{ w przeciwnym przypadku } \end{cases}}\)

Dobrze?

[Premislav]

Tak, wygląda OK.

[max123321]

Dobra to liczę \(\displaystyle{ Y/X}\).

Z gęstości widać, że \(\displaystyle{ 0< \frac{Y}{X}<1}\), zatem dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) dystrybuanta wyniesie wartość zero, a dla \(\displaystyle{ t>1}\) będzie równa jeden. Trzeba policzyć co się dzieje dla \(\displaystyle{ t \in (0,1]}\). No to liczę:
\(\displaystyle{ P(Y/X \le t)=P(Y \le tX)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{tx}3xdydx= \int_{0}^{1}3tx^2dx=t}\)
Czyli dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F_{Y/X}(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t \le 0\\ t \text{ dla } 0<t \le 1\\1 \text{ dla } 1<t \end{cases}}\)
No to gęstość:
\(\displaystyle{ f_{Y/X}(t)=F_{Y/X}(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t \le 0\\ 1 \text{ dla } 0<t \le 1\\0 \text{ dla } 1<t \end{cases}}\)

Zgadza się?

No dobra, a jak zrobić b)?