Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: max123321 »

Podróżny przyjeżdza na lotnisko w chwili \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ \left[ -2,-1\right]}\), a jego samolot odlatuje w losowym i niezależnym od \(\displaystyle{ X}\) czasie \(\displaystyle{ Y}\) mającym rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\). Znaleźć gęstość rozkładu czasu oczekiwania \(\displaystyle{ Z=Y-X}\).

Jak to zrobić?
szw1710

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: szw1710 »

Splotowo.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: max123321 »

W sensie? Mógłbyś coś więcej powiedzieć?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: Premislav »

Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych (a takie tu występują) to splot ich gęstości.
Poza tym \(\displaystyle{ Y-X=Y+(-X)}\) i skoro \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ -X, Y}\) też są niezależne, no i z uwagi na to, że \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [-2,-1]}\) nietrudno uzyskać, że \(\displaystyle{ -X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [1,2]}\).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: max123321 »

No dobra, to liczę tak:
\(\displaystyle{ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}\)
\(\displaystyle{ f(t-x)=\lambda e^{-\lambda (t-x)}}\)
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{2-1} \cdot I_{1,2}=I_{1,2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\lambda e^{-\lambda (t-x)}I_{1,2}dx=}\)
\(\displaystyle{ \lambda e^{-\lambda t} \int_{1}^{2}e^{\lambda x}dx=e^{-\lambda t}(e^{2\lambda}-e^{\lambda})}\)

Czy tak jest dobrze?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: Premislav »

No nie wygląda to za dobrze… a gdzie się podział kurczakator (dobra, to taki suchar: indykator ) odpowiedni dla rozkładu wykładniczego? Zapomniałeś chyba o tym, że nośnikiem rozkładu wykładniczego jest \(\displaystyle{ \RR^+}\), a nie całe \(\displaystyle{ \RR}\).
Powinno być:
\(\displaystyle{ f(x)=lambda e^{-lambda x}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[0,+infty)}(x)\ f(t-x)=lambda e^{-lambda (t-x)}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[0,+infty)}(t-x)}\)
i tak dalej.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: max123321 »

Ok, ale jak to nam zmieni granice całkowania? Będzie chyba jakaś zależność od \(\displaystyle{ t}\), ale jakoś tego nie widzę.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: Premislav »

Myślę, że dobrze byłoby to sobie zaznaczyć w kartezjańskim układzie współrzędnych, gdzie za \(\displaystyle{ t}\) bierzemy drugą współrzędną. Wtedy bez trudu zobaczymy, że jest
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[0,+\infty)}(t-x)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}(x)=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,+\infty)}(t)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,\min\left\{ 2,t\right\} ]}(x)}\).
i ten pierwszy indykator można wyciągnąć przed całkę.
Kremówkuj z tym.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: max123321 »

Kurde nie rozumiem. Doszedłem tylko do tego, że dla \(\displaystyle{ t \ge 2}\) będzie \(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}}\), dla \(\displaystyle{ t<1}\) będzie zero i dla \(\displaystyle{ t \in (1,2)}\) będzie \(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,t]}}\). Od biedy bym chyba wyznaczył z tego granicę całkowania, w sensie, że
\(\displaystyle{ \int_{1}^{t}}\) dla \(\displaystyle{ t \in (1,2)}\), a wszędzie poza tym przedziałem będzie zero, ta gęstość, zgadza się? Ale jakoś nie rozumiem tego Twojego pomysłu z układem współrzędnych. Możesz wrzucić jakiś rysunek, albo jakoś opisać co jest czym?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: Premislav »

Nie umiem TikZa, a nie wiem, czy obsługa nie wyrzuci wstawionego rysunku, więc spróbuję to opisać:
o układzie współrzędnych pomyślałem, żeby łatwiej określić, kiedy
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[0,+\infty)}(t-x)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}(x)}\)
jest równy jeden, a kiedy – zero. Chodzi o to, że przy całkowaniu raczej nam przeszkadza ten cały
\(\displaystyle{ 1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[0,+infty)}(t-x)}\).
Na pierwszej osi, czyli osi \(\displaystyle{ OX}\), odkładamy \(\displaystyle{ x}\), na drugiej osi, czyli \(\displaystyle{ OY}\), odkładamy \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}(x)}\) daje nam taki pasek
\(\displaystyle{ 1\le x\le 2, t\in \RR}\).
\(\displaystyle{ 1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[0,+infty)}(t-x)}\) jest zaś równy \(\displaystyle{ 1}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ t\ge x}\), czyli mamy proste \(\displaystyle{ x=1, \ x=2, \ t=x}\) i nieograniczony obszar spełniający
\(\displaystyle{ 1\le 2\le x, \ t\ge x}\) to jest taki „nieskończony trapez" o dwóch wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (2,2)}\), a dalej lecący w górę (w przeciwieństwie do Tomasza Chady w ubiegłym roku).
No to w tym „nieskończonym trapezie" \(\displaystyle{ t}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ +\infty}\), zaś przy ustalonym \(\displaystyle{ tin[1,+infty)}\), jeśli \(\displaystyle{ t\le 2}\), to \(\displaystyle{ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ t}\), zaś jeśli \(\displaystyle{ t>2}\), to \(\displaystyle{ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2}\)
(ten obszar to jest obszar, w którym nasz iloczyn indykatorów wynosi \(\displaystyle{ 1}\)).
Czyli skrótowo, jak napisałem, można to opisać tak, że
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[0,+\infty)}(t-x)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}(x)=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,+\infty)}(t)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,\min\left\{ 2,t\right\} ]}(x)}\)
i całkę można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,+\infty)}(t) \int_{1}^{\min\left\{ 2,t\right\} }\lambda e^{-\lambda(t-x)}\,\dd x\\=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}(t) \int_{1}^{t}\lambda e^{-\lambda(t-x)}\,\dd x+1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(2,+\infty)}(t) \int_{1}^{2}\lambda e^{-\lambda(t-x)}\,\dd x}\)
Nie wiem, na ile to coś rozjaśniło…
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: max123321 »

No chyba mniej więcej rozumiem, tylko ja to bym zapisał już bez tych indykatorów tak:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\lambda e^{-\lambda (t-x)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[0,+\infty)}(t-x)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,2]}(x)dx= \begin{cases} \int_{1}^{2}\lambda e^{-\lambda (t-x)}dx \text{ dla } t \ge 2\\\int_{1}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-x)}dx \text{ dla } 1<t<2\\0\text{ dla }t<1 \end{cases}}\) i dalej po obliczeniach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{-\lambda t}(e^{2\lambda}-e^{\lambda}) \text{ dla } t \ge 2\\\ 1-e^{\lambda-\lambda t} \text{ dla } 1<t<2\\0\text{ dla }t<1 \end{cases}}\)

Dobrze?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podróżny przyjeżdza na lotnisko

Post autor: Premislav »

Tak, jest OK.
ODPOWIEDZ