Potrafię zrobić tylko pierwszy podpunkt:Wektor losowy \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma rozkład jednostajny na kwadracie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)}\). Niech \(\displaystyle{ Z = |X|+|Y|}\).
a) Wyznaczyć dystrybuantę \(\displaystyle{ Z}\).
b) Czy \(\displaystyle{ Z}\) ma gęstość? Wyznaczyć ją jeśli istnieje.
c) Obliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}Z}\).
d) Czy zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne?
a) Dystrybuantę mogę wyznaczyć z prawdopodobieństwa geometrycznego: \(\displaystyle{ F_Z(t) = \frac{\lambda(\{|x|+|y| \le t\} \cap A)}{\lambda(A)} = t^2}\), dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\).
Jak szukać gęstości i wartości oczekiwanej? Próbowałam wyliczyć rozkłady brzegowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), ale nie wiem co z tym dalej zrobić, bo \(\displaystyle{ g_z(x, y)}\) ma dwa parametry.
Podobnie nie wiem co z wartością oczekiwaną - zakładam, że jeśli już policzę gęstość, to mogę scałkować \(\displaystyle{ \iint_{A} xyg_z(x,y) dx dy}\). Czy to dobry pomysł?