Zmienna (X, Y) ma rozkład o funkcji gęstości...

[grenda1999]

Zmienna \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma rozkład o funkcji gęstość \(\displaystyle{ f(x,y)=x+y, \ 0 \le x \le 1, \ 0 \le y \le 1}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowe \(\displaystyle{ X-Y}\).

[Premislav]

Na takie rzeczy dobrze patrzeć graficznie: masz kwadrat \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]}\) w kartezjańskim układzie współrzędnych. Nanosisz nań pęk prostych o równaniach \(\displaystyle{ y=x-t}\), całka podwójna z tego \(\displaystyle{ x+y}\) po obszarze, który jest wewnątrz kwadratu, a nad prostą \(\displaystyle{ y=x-t}\) dla konkretnego \(\displaystyle{ t}\) to wartość dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ X-Y}\) w punkcie \(\displaystyle{ t}\) (wynika to z tego, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X-Y\le t)=\mathbf{E}\left( 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(-\infty, t]}(X-Y)\right)}\)).
Stąd
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X-Y\le t)= \begin{cases}0 \text{ dla }t\le -1\\ \int_{0}^{1+t} \int_{x-t}^{1}(x+y)\,\dd y\,\dd x \text{ dla } t\in (-1,0]\\ \int_{0}^{t} \int_{0}^{1}(x+y)\,\dd y\,\dd x + \int_{t}^{1} \int_{x-t}^{1-t}(x+y)\,\dd y \,\dd x \text{ dla } t\in (0,1] \\ 1 \text{ dla }t>1 \end{cases}}\)

Przelicz sobie te całki (nie mam zamiaru tego robić) i tyle.