Wykazać własności dystrybuanty

[Bran]

Niech
(i) \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją niemalejącą
(ii) \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } f(t) = 1}\); \(\displaystyle{ \lim_{t \to -\infty } f(t) = 0.}\)
(iii) \(\displaystyle{ f}\) jest prawostronnie ciągła

Teza:
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełnia (i),(ii),(iii) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dystrybuantą.

Moje próby dowodów spełzły na niczym. Gdyby udało mi się udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dystrybuantą, to zachodzi (i), to może udałoby mi się wykazać także (ii), ale to też niewiele.
Mógłby ktoś pomóc, dać podpowiedź?

[Janusz Tracz]

Dystrybuanta jest niemalejąca bo można ustalić \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\) wtedy zachodzi \(\displaystyle{ \left(- \infty ,x_1 \right] \subseteq \left(- \infty ,x_2 \right]}\) to implikuje, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\left(- \infty ,x_1 \right] \right) \le \mathbb{P}\left( \left(- \infty ,x_2 \right]\right)}\). A to z definicji dystrybuanty \(\displaystyle{ f}\) oznacza, że \(\displaystyle{ f(x_1) \le f(x_2)}\).

PS Gdybyś miał udowodnione (ii) to dowód można by było przeprowadzić zauważając, że pochodna dystrybuanty jest gęstością z definicji nieujemną (zatem pochodna nieujemna czyli funkcja niemalejąca).-- 11 cze 2019, o 22:55 --Albo tak: Ustalamy \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\) i mamy pokazać, że \(\displaystyle{ f(x_1) \le f(x_2)}\) ale zapisujemy to w kontekście gęstości prawdopodobieństwa co daje:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{x_1} g(x) \mbox{d}x \le \int_{- \infty }^{x_2} g(x) \mbox{d}x}\)

ale to można zapisać jako:

\(\displaystyle{ 0 \le \int_{x_1}^{x_2}g(x) \mbox{d}x}\)

gdzie \(\displaystyle{ g(x)}\) to gęstość nieujemna z definicji.

[matmatmm]

Janusz Tracz, nie możesz korzystać z gęstości, bo nie wiadomo, czy ten rozkład ma gęstość.

Dowód (ii) (w jedną stronę)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}\PP((-\infty,n])=\PP\left( \bigcup_{n\in\NN}(-\infty,n]\right) =\PP(\RR)=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to-\infty}f(t)=\lim_{n\to\infty}f(-n)=\lim_{n\to\infty}\PP((-\infty,-n])=\PP\left( \bigcap_{n\in\NN}(-\infty,n]\right) =\PP(\emptyset)=0}\)

[Janusz Tracz]

nie możesz korzystać z gęstości, bo nie wiadomo, czy ten rozkład ma gęstość.

Myślałem, że takie dziwactwa nie istnieją, a jednak istnieją

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/98801/probability-distribution-function-that-does-not-have-a-density-function

. Dzięki za sprostowanie. Zatem przypadek w którym zastosowałem gęstość wymaga dodatkowych założeń np istnienia gęstości (tak będzie najprościej).