Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej

[altarinsolaris]

Cześć,

Mam problem z dwoma zadaniami, i nie mogę ich rozwiązań, ani znaleźć sposobu na ich rozwiązanie.

Zadanie 1.
Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej\(\displaystyle{ Y(X) = X(10-X)}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(1,10)}\).

Moja próba.

\(\displaystyle{ EX = \frac{a+b}{2} = \frac{1+10}{2} = 5.5}\)

Ze wzoru: \(\displaystyle{ E(aX+bY) = aEX+bEY}\)

\(\displaystyle{ EY = E(X(10-X)) = E(10X - X^{2}) = 10EX - E(X^{2}) = 55 - E(X^{2})}\)

i tutaj nie wiem co dalej zrobić z tym \(\displaystyle{ E(X^{2})}\), chyba ze w ogóle źle podchodzę do tego zadania. Wynik powinien być 18.

Zadanie 2.
Korzystając z własności wartości oczekiwanej, oblicz \(\displaystyle{ E(X(X-1))}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\)

Moja próba.

Wiem, że \(\displaystyle{ EX=\lambda}\)

\(\displaystyle{ E(X(X-1)) = E(X^2-X) = E(X^{2}) - EX = E(X^{2}) - \lambda}\)

Tutaj podobna sytuacja z \(\displaystyle{ E(X^{2})}\), z którym nie wiem co dalej.
Wynik powinien być: \(\displaystyle{ \lambda^{2}}\)

Proszę o pomoc.

[Premislav]

Po prostu nie uciekniesz przed obliczaniem drugiego momentu dla rozkładu jednostajnego i rozkładu Poissona odpowiednio.

1) Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (1,10)}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X^2)=\frac 1 9 \int_{1}^{10}x^2\,\dd x=\frac{1}{27}x^3\bigg|^{x=10}_{x=1}\\= \frac{999}{27} =37}\)

2) Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X^2)= \sum_{n=0}^{\infty}n^2\mathbf{P}(X=n)= \sum_{n=0}^{\infty}n^2e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\\= \sum_{n=1}^{\infty}n^2e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}= \sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty}ne^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\\=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty}ne^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\\=\lambda^2\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n-2}}{(n-2)!} + \lambda\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}=\lambda^2+\lambda}\)

[altarinsolaris]

Dziękuję