Słaba Zbieżność

[tadejow]

Dzień dobry!
Mam problem z pewnym zadaniem z Teorii Prawdopodobieństwa dotyczącym słabej zbieżności.
Mamy pokazać, że jeśli ciąg zm. los.\(\displaystyle{ X _{n} \Rightarrow X}\) oraz ciąg zm. los. \(\displaystyle{ Y_{n} \Rightarrow c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) to stała rzeczywista to wtedy \(\displaystyle{ X_{n} + Y_{n} \Rightarrow X + c}\).
Gdzie \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) oznacza słabą zbieżność.
Wykładowca na ćwiczeniach powiedział, że jest to bardzo proste, ale ani my, ani kilku innych "starszych stażem" osób nie byliśmy w stanie tego rozwiązać.

[Premislav]

Hmm, hmm, byłoby to bardzo proste, wręcz trywialne (pół linijki z funkcji charakterystycznych), przy założeniu, że
\(\displaystyle{ X_n, \ Y_n}\) są niezależne.

A tak nie wygląda to zbyt różowo… Ale tragicznie też chyba nie. Skoro \(\displaystyle{ Y_n\Rightarrow c}\), to \(\displaystyle{ Y_n\stackrel{P}\longrightarrow c}\) (fakt co najmniej tak znany, jak stanowisko Jana Pawła II w kwestii oskarżeń wobec kardynała Groera).
Niechaj \(\displaystyle{ \RR\ni t}\) będzie dowolnym punktem ciągłości dystrybuanty rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ X+c}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Mamy, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbf{P}\left( |Y_n-c|\ge \varepsilon\right) =0}\) (z definicji zbieżności wg prawdopodobieństwa).
Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X+c\le t\right)=\mathbf{P}(X\le t-c)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n+Y_n \le t)=\mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|\ge \varepsilon)+\mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|< \varepsilon)}\)
Ustalmy teraz dowolne \(\displaystyle{ \delta>0}\). Skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbf{P}\left( |Y_n-c|\ge \varepsilon\right) =0}\), to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( |Y_n-c|\ge \varepsilon\right) <\delta}\),
a wówczas z monotoniczności prawdopodobieństwa także
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|\ge \varepsilon)<\delta}\)
Czyli możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|< \varepsilon)
\le \mathbf{P}(X_n+Y_n \le t)\le \mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|< \varepsilon)
+\delta}\)
dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN}\) (istnieje takie \(\displaystyle{ n_{\delta}}\), że… pamparampampam).
Teraz mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|< \varepsilon)=\mathbf{P}\left( X_n+Y_n\le t, c-\varepsilon<Y_n<c+\varepsilon\right)\\=\mathbf{P}\left( X_n \le t-Y_n, -\varepsilon<Y_n-c<\varepsilon\right)\\\ge \mathbf{P}\left( X_n\le t-c\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n+Y_n\le t, |Y_n-c|< \varepsilon)=\mathbf{P}\left( X_n+Y_n\le t, c-\varepsilon<Y_n<c+\varepsilon\right)\\=\mathbf{P}\left( X_n \le t-Y_n, -\varepsilon<Y_n-c<\varepsilon\right)\\\le \mathbf{P}\left( X_n\le t-c+\varepsilon \right)}\)
dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\).
Ta pierwsza nierówność jest trywialna (monotoniczność prawdopodobieństwa), druga może wymagać pewnego wyjaśnienia, jak teraz patrzę.
Jak nie dasz rady tej ostatniej uzasadnić, to postaram się to naskrobać, ale strasznie mi się nie chce.

Dalej należy skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ X_n\Rightarrow X}\) i z ciągłości dystrybuanty rozkładu granicznego w punkcie \(\displaystyle{ t}\),
no i z twierdzenia o trzech ciągach.

Jak prowadzący to profesor Buraczewski, to dla takiego geniusza wszystko jest proste, tak że Chociaż wolałbym mieć RP2 z nim niż z profesorem Jurkiem, bo nic nie zrozumiałem o tych rozkładach nieskończenie podzielnych itd.