Zdarzenia niezależne

[BigPaws]

Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ P(A)=P(B)=\frac14.}\)

Jaka jest szansa, że zaszły oba zdarzenia, jęzeli wiemy, że zaszło przynajmniej jedno.

Korzystam ze wzoru:

\(\displaystyle{ P(A\mid B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}}\)

I wiedząc, że skoro zdarzenia są niezależne:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}}\)

Czy to jest dobrze?

[Jan Kraszewski]

Źle. Warunkiem jest "zaszło przynajmniej jedno zdarzenie", co odpowiada zdarzeniu \(\displaystyle{ A\cup B}\). Masz zatem policzyć \(\displaystyle{ P(A\cap B\mid A\cup B).}\)

JK

[BigPaws]

Zacząłem tak robić, ale pojawiły się długie wzory, da się je jakoś poskracać czy trzeba to liczyć w nieskończoność?

\(\displaystyle{ \frac{p((A \cap B) \cap (A \cup B)) }{p(A \cup B)}}\)

[Jan Kraszewski]

Z elementarnych własności działań na zbiorach powinieneś wiedzieć, ile to jest \(\displaystyle{ (A \cap B) \cap (A \cup B)}\). Natomiast jeden z podstawowych wzorów związanych z prawdopodobieństwem mówi, jak policzyć \(\displaystyle{ P(A\cup B)}\).

A z liczeniem w nieskończoność to dobry żart, bo rachunek to pół linijki...

JK

[BigPaws]

Czy chodzi o takie przekształcenie?

\(\displaystyle{ (A \cap B) \cap (A \cup B) = (A \cap B) \cap (B \cap A) = (A \cap B) \cap (A \cap B) = (A \cap B)}\)

[Jan Kraszewski]

Przekształcenie wygląda bardziej niż podejrzanie, więc raczej nie - zupełnie nie wiadomo, co robisz i dlaczego miałoby to być poprawne (zwłaszcza w pierwszym przejściu). Natomiast wynik wyszedł właściwy, choć najprościej zauważyć to z twierdzenia \(\displaystyle{ X \subseteq Y \Leftrightarrow X\cap Y=X}\).

JK

[BigPaws]

Zamiast skasować pierwsze przekształcenie to dopisałem nowe, skorzystałem z własności, że jeśli

\(\displaystyle{ A = B (A \cup B) = (A \cap B)}\)

[Jan Kraszewski]

Zamiast skasować pierwsze przekształcenie to dopisałem nowe, skorzystałem z własności, że jeśli

\(\displaystyle{ A = B (A \cup B) = (A \cap B)}\)

Nie ma pojęcia, co tak naprawdę zrobiłeś. Co to znaczy "dopisałem nowe przekształcenie"? Co to za własność, z której ponoć skorzystałeś? Bo te znaczki nie opisują żadnej własności.

JK

[Bran]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ (A \cap B) \subset (A \cup B)}\) więc \(\displaystyle{ (A \cap B) \cap (A \cup B) = (A \cap B)}\) choćby z definicji części wspólnej zbiorów.

Natomiast wracając do zadania:

\(\displaystyle{ P(A\cap B\mid A\cup B) = \frac{P(A \cap B) \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}}\)

No i teraz z własności, którą już znamy:

\(\displaystyle{ \frac{P((A \cap B) \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\).

Z informacji jakie podałeś możemy więc łatwo wyliczyć, że \(\displaystyle{ P(A \cup B) = \frac{1}{2} - P(A \cap B)}\)

Dlatego mamy:

\(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{P(A \cap B)}{\frac{1}{2} - P(A \cap B)}}\)

Z definicji niezależności dwóch zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\), więc w naszym przypadku: \(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{16}}\).

Zatem poszukiwany wynik, to:
\(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B)}{\frac{1}{2} - P(A \cap B)} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{16}} = \frac{1}{7}.}\)

[BigPaws]

Super, dzięki, teraz wszystko jasne