Zbieżność w L1

[sky2829]

Czesc,

Mam takie zadania na zbieżność w \(\displaystyle{ L_{1}}\). I się zastanawiam jak to zrobić bo MPWL Kołomogrowa dotyczy zbieżności prawie na pewno i niezbyt wiem jakich twierdzeń i narzędzi mogę użyć.

zadanie 1
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (X_{n})_{n\ge ­1}}\) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{X_{1} + . . . + X_{n}}{n} {\rightarrow } EX_{1}}\) w L1

zadanie 2

Zmienna \(\displaystyle{ N_{n}}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ n}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{N_{n}}{n} {\rightarrow } 1}\)w L1

[Premislav]

Jeżeli masz już zrobione zadanie pierwsze, to tak się sprytnie robi drugie z pierwszego:
rozpatrujesz ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^{\infty}}\) o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ 1}\). Wówczas \(\displaystyle{ X_1+\ldots+X_n\stackrel{d}=N_n}\)
oraz \(\displaystyle{ \mathbf{E}(X_1)=1}\) i możesz skorzystać z zadania pierwszego.

[sky2829]

Dobrze, to faktycznie super sztuczka

Kwestia tego jak zrobić pierwsze i jak w ogóle badać zbieżność takich rzeczy w L1?

[Premislav]

Mnie to raczej pokonało, za mało z tego pamiętam, ale może przyda się ten wątek.

ja wysiadam jak Magik 26 grudnia 2000 r.