Pokaż słabą zbieżność do rozkładu wykładniczego.

[Leoneq]

Mam takie o to zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_n \right\} ^{\infty}_{n=1}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym standardowym rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N} \left( 0,1 \right)}\).

Niech \(\displaystyle{ Y_n = n \cdot \min _{1 \le i \le n}|X_i|}\).

Pokaż, że \(\displaystyle{ Y_n}\) słabo zbiega do rozkładu wykładniczego i podaj jego parametr.

Próbowałem kombinować dystrybuantami, czyli dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\):
\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( Y_n \le t \right) =\mathbb{P} \left( n \cdot \min _{1 \le i \le n}|X_i| \le t \right) = \mathbb{P} \left( \min _{1 \le i \le n}|X_i| \le \frac{t}{n} \right) =\\= 1 - \mathbb{P} \left( \forall i \ |X_i| \ge \frac{t}{n} \right)
= 1 - \left( 1 - \mathbb{P} \left( |X_1| \le \frac{t}{n} \right) \right) ^n}\)

Tylko z tego wychodzi mi wzór z dystrybuantą rozkładu normalnego i nie wiem co z tym miałbym zrobić.

Dziękuję za wszystkie odpowiedzi.

[Premislav]

Prościej byłoby od razu liczyć \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y_n>t)}\), zważywszy na to, jaka jest teza, mniejsza szansa na walnięcie się z minusami, ale na razie OK.
Dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \left( 1-\mathbf{P}\left( \left| X_1\right|\le \frac t n \right) \right)^n\\=\left( 1-\mathbf{P}\left( -\frac t n\le X_1 \le \frac t n \right) \right)^n\\=\left( 1-\left( \Phi\left( \frac t n\right) -\Phi\left( -\frac t n\right) \right) \right)^n}\)
Ustalmy na moment \(\displaystyle{ t>0, n\in \NN^+}\). Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej:
\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac t n\right) -\Phi\left( -\frac t n\right)=\frac{2t}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{c^2}{2}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ -\frac t n<c<\frac t n}\)
Korzystając z monotoniczności \(\displaystyle{ e^x}\) i manipulując możliwymi wartościami \(\displaystyle{ c}\) widzimy, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac 2 \pi}\frac t ne^{-\frac{t^2}{2n^2}}}\le \Phi\left( \frac t n\right) -\Phi\left( -\frac t n\right)\le \sqrt{\frac 2 \pi}\frac t n}\)
Pozostaje zweryfikować, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( 1-\sqrt{\frac 2 \pi}\frac t n\right)^n=e^{-\sqrt{\frac 2 \pi}t}}\)
oraz że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( 1-\sqrt{\frac 2 \pi}\frac t ne^{-\frac{t^2}{2n^2}}\right)^n=e^{-\sqrt{\frac 2 \pi}t}}\)
i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
Pierwsza równość powinna być oczywista, a dla odmiany druga też.