zmienne Rademachera - zbieżność pn i wg prawdopodobieństwa

[sky2829]

Czesc,

Mam takie zadanie ze zbieżności zmiennych losowych, nie umiem go nawet zacząć. Generalnie może ktoś znalazł rozwiązania jakiś bardziej podstawowych zadań na zbieżność w internecie?

Zmienne \(\displaystyle{ (X_{n})_{n\ge 1}}\) są niezależnymi zmiennymi Rademachera. Czy ciąg \(\displaystyle{ (X_{n})_{n\ge 1}}\) jest zbieżny pn? Czy jest zbieżny według prawdopodobieństwa?

[Premislav]

Ja na przykład nie pamiętam, co to jest rozkład Rademachera.
Czy chodzi o to:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rademacher_distribution

[sky2829]

tak dokładnie o ten rozkład chodzi

[FasolkaBernoulliego]

Przepraszam za odświeżanie tematu, ale moje pytanie dotyczy dokładnie tego zadania. Kontekst i samo zadanie znaleźć można na stronie .
Samo zadanie jest chyba dość proste (ciąg nie może zbiegać wg prawdopodobieństwa), natomiast zastanawia mnie inny, bezpośrednio powiązany problem. Rozpatrzmy \(\displaystyle{ \left( \Omega = (0,1), \mathcal{F} = \mathcal{B}(\Omega) \right)}\) wyposażoną w miarę Lebesgue'a i zdefiniujmy dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ X_n (\omega) = \begin{cases} -1, \quad \omega \in A_n \\ \ 1, \quad \omega \in B_n \\ \ 0, \quad \text{ w pozostałych przypadkach}\end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ A_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k}{2^n}, \frac{2k+1}{2^n} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ B_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k+1}{2^n}, \frac{2k+2}{2^n} \right) }\).
Zmienne \(\displaystyle{ X_n}\), o ile dobrze myślę, są niezależne i mają rozkłady jak w zadaniu. Jaka jest sensowna granica \(\displaystyle{ X_n}\)? W sensie słabym zdaje się, że każdy z elementów tego ciągu jest jego granicą, ale czy da się wybrać granicę w jakimś rozsądnym sensie "lepszą"?

[janusz47]

Ciąg \(\displaystyle{ (X_{n}) }\) niezależnych zmiennych losowych Radamachera nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa ani z prawdopodobieństwem równym jeden (p.n).

Dowód

\(\displaystyle{ Pr(\{ |X_{n} - X_{m}|> \epsilon \}) = Pr(\{ X_{n} \neq X_{m}\}) = 1 - Pr( \{ X_{n} = X_{m}\}) = 1 - [ Pr( \{X_{n} =1, X_{m} =1 )+ Pr( \{X_{n}=-1, X_{m}=-1\})]= \\ = 1 - Pr(\{ X_{n} =1\}) \cdot Pr(\{ X_{m} = 1\}) - Pr(\{ X_{n} =-1\}) \cdot Pr(\{ X_{m} = -1\}) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{2}{4} = 1 -\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.}\)

c.b.d.o

[FasolkaBernoulliego]

Nie wiem skąd się wzięło mnożenie w trzecim przejściu. Ani jak to się ma do mojego pytania.

Edit: Dodawanie zdecydowanie lepsze.

[janusz47]

Odpowiedź na post Sky2829. Z założenia niezależności zmiennych losowych Rademachera.

FasolkaBernoulliego Powiązany Twój problem, powinieneś umieścić w oddzielnym poście. Wtedy się nad nim zastanowimy.