Znajdź rozkład średniej zmiennych losowych.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy

Znajdź rozkład średniej zmiennych losowych.

Post autor: Leoneq »

Mam takie zadanie:

Niech\(\displaystyle{ X_1, X_2, ...,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie.
Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i}\) jeśli \(\displaystyle{ X_1}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}\)

I nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać, może jakoś indukcyjnie splotem?

Z góry dziękuje za wszystkie odpowiedzi.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znajdź rozkład średniej zmiennych losowych.

Post autor: Premislav »

W sumie tak można, ale wtedy jest trochę do liczenia. Przy czym wtedy wygodniej byłoby znaleźć w ten sposób rozkład \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i}\) (ta \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) też się zmienia oczywiście wraz z \(\displaystyle{ n}\), więc psułaby trochę rachunki), a potem pokazać, jak zadziała pomnożenie przez \(\displaystyle{ \frac 1 n}\).
A czy znasz może funkcje charakterystyczne? Z ich użyciem byłoby szybciej (funkcja charakterystyczna sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych).
Można też przez funkcje tworzące momenty, ostatecznie przez własności wielowymiarowego rozkładu normalnego.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy

Re: Znajdź rozkład średniej zmiennych losowych.

Post autor: Leoneq »

Właśnie poznaję funkcje charakterystyczne, więc może wtedy na coś wpadnę.

Czyli wtedy \(\displaystyle{ \phi_{\bar{X}} \left( t \right) =\phi_{X_1} \left( \frac{t}{n} \right) \cdot ... \cdot \phi_{X_n} \left( \frac{t}{n} \right)}\)??
Ostatnio zmieniony 8 cze 2019, o 13:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znajdź rozkład średniej zmiennych losowych.

Post autor: Premislav »

Zgadza się. No i trzeba tutaj znać ogólną postać funkcji charakterystycznej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\). To tak się przedstawia:
\(\displaystyle{ e^{\mu it- \frac{\sigma^2t^2}{2} }}\)
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy

Znajdź rozkład średniej zmiennych losowych.

Post autor: Leoneq »

Dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ