Warunkowanie procesu Poissona

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
miszazdr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 27 sty 2019, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iłowa
Podziękował: 5 razy

Warunkowanie procesu Poissona

Post autor: miszazdr »

Cześć,
mam zadanie, które brzmi:

Maile przychodzą według procesu Poissona z int \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) na godzinę. Policz prawdopodobieństwo, że o 7:00 będzie 5 maili, a o 10:00 15 maili.

Problem tkwi w samym sformułowaniu. Rozumiem to jako "prawdopodobieństwo, że o 10:00 będzie 15 maili pod warunkiem, że o 7:00 było 5" - brzmi to logicznie, wiedząc, że o 7 było tyle maili, mogę założyć ile będzie o 10. Jednak na ćwiczeniach przerabialiśmy zadanie, w którym liczyliśmy rozkład \(\displaystyle{ N(s)}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ N(t) = n,}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<s<t}\), \(\displaystyle{ N}\) - proces Poissona.

Czy w procesach liczących można warunkować \(\displaystyle{ P(N(t)|N(s))}\), jeśli \(\displaystyle{ s<t}\)? I czy liczy się to analogicznie do \(\displaystyle{ P(N(s)|N(t))}\)

Policzyłem to w ten sposób, zakładając, że 15 maili przyszło pod warunkiem, że wcześniej 5 maili przyszło.
\(\displaystyle{ P(N(10)=15|N(7)=5) = \frac{P(N(10) = 15,\; N(7)=5)}{P(N(7)=5)} = \frac{P(N(10) - N(7) = 10,\; N(7)=5)}{P(N(7)=5)} = \frac{P(N(3) = 10)P(N(7)=5)}{P(N(7)=5)} = P(N(3) = 10)}\)
ODPOWIEDZ