Cześć,
Często korzystam z tego forum ale nie znalazłam zadania tego typu. Może ktoś mi z nim pomoże.
Chodzi mi o to jak zacząć - całki już sobie policzę
Zadanie brzmi:
Niech dany będzie obszar \(\displaystyle{ K}\), będący wnętrzem trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,1), (2,0) i (1,2)}\). Dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) gęstość dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} k &\text{dla }\bigskip (x,y) \in K \\ 0 &\text{poza tym} \end{cases}}\)
a) obliczyć wartość parametru \(\displaystyle{ k}\)
b) wyznaczyć gęstości brzegowe zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)
c) zbadać niezależność zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)
d) Obliczyć \(\displaystyle{ P(X>1, Y>0,5 )}\)
e) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)
Z góry dziękuję, za każdą pomoc.
procesy stochastyczne
procesy stochastyczne
Ostatnio zmieniony 4 cze 2019, o 22:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
procesy stochastyczne
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} k \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y) \in K \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y)\notin K\end{cases}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ K = \{(x,y)\in \RR^2: 0\leq x \leq 1 \wedge -\frac{1}{2}x +1 \leq y \leq x+1 \} \cup \\ \cup \{(x,y)\in \RR^2: 1\leq x \leq 2 \wedge -\frac{1}{2}x +1\leq y \leq -2x +4 \}.}\)
a)
Stałą \(\displaystyle{ k}\) znajdujemy z własności gęstości łącznej wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\)
\(\displaystyle{ 1 = \iint_{(K)}f(x,y)dx dy = \int_{0}^{1}dx \int_{-\frac{1}{2}x +1}^{x+1}k dy + \int_{1}^{2}dx \int_{-\frac{1}{2}x +1}^{-2x+4}k dy = ...}\)
\(\displaystyle{ k =...}\)
Sposób geometryczny
\(\displaystyle{ |P_{\Delta}| = \frac{1}{2}\left | det \left[\begin{matrix}1-0& 2-1\\2-0&0-1\end{matrix}\right]\right| = \frac{3}{2}.}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{|P_{\Delta}|}.}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{\frac{3}{2}}= \frac{2}{3}.}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{2}{3} \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y) \in K \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y)\notin K\end{cases}.}\)
b)
Z definicji rozkładów brzegowych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\)
\(\displaystyle{ f_{X}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dy}\)
Gęstości brzegowe znajdujemy dla \(\displaystyle{ x\in (0, 2).}\)
\(\displaystyle{ f_{X}(x,y) = \begin{cases} \int_{-\frac{1}{2}{x}+1}^{x+1}\frac{2}{3}dy=... \ \ \mbox{gdy} \ \ x\in(0,1) \\ \int_{-\frac{1}{2}x +1}^{-2x +4}\frac{2}{3}dy=... \ \ \mbox{gdy} \ \ x\in(1, 2) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx}\)
Dla
\(\displaystyle{ y\in (0,2)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(x,y) = \left\{...}\)
c)
\(\displaystyle{ f(X,Y) = \frac{2}{3}}\) dla \(\displaystyle{ ( x,y) \in K,}\) a \(\displaystyle{ f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) \neq \frac{2}{3}}\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ (x, y) \in K,}\) zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) nie są ....
d)
\(\displaystyle{ Pr( \{ X>1, Y >0,5\}) = \int_{0,5}^{2}dy \int_{1}^{2-\frac{1}{2}y}\frac{2}{3}dx =...}\)
e)
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{2}x\cdot f_{X}(x,y) dx = ...}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = \int_{0}^{2}y\cdot f_{Y}(x,y)dy =...}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = \int_{0}^{2} f_{X}(x,y)\cdot [x - E(X)]^2 dx=...}\)
\(\displaystyle{ Var(Y) = \int_{0}^{2} f_{Y}(x,y)\cdot [x - E(Y)]^2 dy-...}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ K = \{(x,y)\in \RR^2: 0\leq x \leq 1 \wedge -\frac{1}{2}x +1 \leq y \leq x+1 \} \cup \\ \cup \{(x,y)\in \RR^2: 1\leq x \leq 2 \wedge -\frac{1}{2}x +1\leq y \leq -2x +4 \}.}\)
a)
Stałą \(\displaystyle{ k}\) znajdujemy z własności gęstości łącznej wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\)
\(\displaystyle{ 1 = \iint_{(K)}f(x,y)dx dy = \int_{0}^{1}dx \int_{-\frac{1}{2}x +1}^{x+1}k dy + \int_{1}^{2}dx \int_{-\frac{1}{2}x +1}^{-2x+4}k dy = ...}\)
\(\displaystyle{ k =...}\)
Sposób geometryczny
\(\displaystyle{ |P_{\Delta}| = \frac{1}{2}\left | det \left[\begin{matrix}1-0& 2-1\\2-0&0-1\end{matrix}\right]\right| = \frac{3}{2}.}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{|P_{\Delta}|}.}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{\frac{3}{2}}= \frac{2}{3}.}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{2}{3} \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y) \in K \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y)\notin K\end{cases}.}\)
b)
Z definicji rozkładów brzegowych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\)
\(\displaystyle{ f_{X}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dy}\)
Gęstości brzegowe znajdujemy dla \(\displaystyle{ x\in (0, 2).}\)
\(\displaystyle{ f_{X}(x,y) = \begin{cases} \int_{-\frac{1}{2}{x}+1}^{x+1}\frac{2}{3}dy=... \ \ \mbox{gdy} \ \ x\in(0,1) \\ \int_{-\frac{1}{2}x +1}^{-2x +4}\frac{2}{3}dy=... \ \ \mbox{gdy} \ \ x\in(1, 2) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx}\)
Dla
\(\displaystyle{ y\in (0,2)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(x,y) = \left\{...}\)
c)
\(\displaystyle{ f(X,Y) = \frac{2}{3}}\) dla \(\displaystyle{ ( x,y) \in K,}\) a \(\displaystyle{ f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) \neq \frac{2}{3}}\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ (x, y) \in K,}\) zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) nie są ....
d)
\(\displaystyle{ Pr( \{ X>1, Y >0,5\}) = \int_{0,5}^{2}dy \int_{1}^{2-\frac{1}{2}y}\frac{2}{3}dx =...}\)
e)
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{2}x\cdot f_{X}(x,y) dx = ...}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = \int_{0}^{2}y\cdot f_{Y}(x,y)dy =...}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = \int_{0}^{2} f_{X}(x,y)\cdot [x - E(X)]^2 dx=...}\)
\(\displaystyle{ Var(Y) = \int_{0}^{2} f_{Y}(x,y)\cdot [x - E(Y)]^2 dy-...}\)