Funkcja charakterystyczna o rozkładzie wykładniczym

[Absurdalna1995]

Dzień dobry,

mam problem z zadaniem o następującej treści:

Zmienna losowa X ma rozkład z funkcją charakterystyczną \(\displaystyle{ Y(t)=(1-3it) ^{-1}}\), jest to więc rozkład w postaci wykładniczej. Jak z takiej postaci wyznaczyć \(\displaystyle{ X^{2}}\) oraz funkcję charakterystyczną o postaci \(\displaystyle{ 3X-1}\).

Będę wdzięczna za wszelkie podpowiedzi!

[Premislav]

Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=3x-1}\) mamy
\(\displaystyle{ \varphi_Z(t)=\mathbf{E}\left[ e^{itZ}\right] =\mathbf{E}\left[ e^{it(3X-1)}\right] \\=\frac 1 {e^{it}} \mathbf{E}\left[ e^{i(3t)X}\right] =e^{-it}(1-9it)^{-1}}\)
Natomiast co do \(\displaystyle{ X^2}\), nie rozumiem pytania.

[Absurdalna1995]

Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=3x-1}\) mamy
\(\displaystyle{ \varphi_Z(t)=\mathbf{E}\left[ e^{itZ}\right] =\mathbf{E}\left[ e^{it(3X-1)}\right] \\=\frac 1 {e^{it}} \mathbf{E}\left[ e^{i(3t)X}\right] =e^{-it}(1-9it)^{-1}}\)
Natomiast co do \(\displaystyle{ X^2}\), nie rozumiem pytania.

Dziękuję za pomoc odnośnie tej części zadania, wydaje mi się, że jeśli chodzi o \(\displaystyle{ X^{2}}\) należy znaleźć postać jednowymiarowej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) a następnie tę postać podnieść do kwadratu (?)

[Premislav]

A, to może po prostu chodzi o znalezienie rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^2}\).
Skoro zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma funkcję charakterystyczną postaci
\(\displaystyle{ Y(t)=(1-3it)^{-1}}\), to znaczy, że ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\frac 1 3}\) (ogólniej: zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\) ma funkcję charakterystyczną postaci \(\displaystyle{ (1-\frac 1 \lambda it)^{-1}}\)).
Zatem \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X> x)=\left\begin{cases}1 \text{ dla }x\le 0\\e^{-\frac 1 3x} \text{ dla }x>0\end{cases}}\)
i z uwagi na nieujemność \(\displaystyle{ X}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X^2> x)= \begin{cases}1\text{ dla }x\le 0 \\ e^{-\frac 1 3\sqrt{x}} \text{ dla }x>0 \end{cases}}\)
stąd otrzymujemy zaś
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X^2\le x)=1-\mathbf{P}(X^2>x)= \begin{cases} 0 \text{ dla }x\le 0 \\ 1-e^{-\frac 1 3\sqrt{x}} \text{ dla }x>0 \end{cases}}\)