ciąg niezależnych zmiennych losowych

[sky2829]

Czesc,
Znalazłam takie zadanie i nie mogę go rozwiązać:

Dany jest ciag niezaleznych zmiennych losowych
\(\displaystyle{ X_{0},X_{1},X_{2}, . . .}\) o tym samym rozkładzie z ciagła dystrybuanta.
Niech \(\displaystyle{ Z = \inf \{n: X_{n} > X_{0} \}}\) .
Wyznaczyc rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) oraz obliczyc \(\displaystyle{ EZ}\).

Wiem, że \(\displaystyle{ P(\min (X,Y) >t) = P(X>t) P(Y>t) = (1 - F_{X}(t))(1-F_{Y}(t))}\) i starałam sie jakoś bezskutecznie z tym kombinować

[Premislav]

Dość narzuca się to, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( Z=n\right)=\frac{1}{n(n+1)}, \ n\in \NN^+}\)

Kluczowe spostrzeżenie:
ponieważ
\(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne i mają ten sam rozkład, więc dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) ciągu \(\displaystyle{ \left(0,1,\ldots n\right)}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_0<X_1\ldots<X_n)=\mathbf{P}(X_{\sigma(0)}<X_{\sigma(1)}\ldots <X_{\sigma(n)})}\)
Nie wiem, na ile można to uznać za oczywiste, ja to dowodzę dość brzydko:
dobierzmy sobie dowolne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1<x_2\ldots< x_n}\).
Mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_0\le x_1, x_1<X_1\le x_2, \ldots x_n <X_n)\\= \mathbf{P}(X_0\le x_1)\mathbf{P}(x_1<X_1\le x_2)\ldots \mathbf{P}(x_{n-1}<X_{n-1}\le x_n)\mathbf{P}(x_n<X_n)}\)
z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_0, X_1, \ldots X_n}\).
Ustalmy teraz dowolną permutację \(\displaystyle{ \sigma}\) ciągu \(\displaystyle{ (0,1,\ldots n)}\). W pełni analogicznie do powyższego otrzymujemy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{\sigma(0)}\le x_1, x_1<X_{\sigma(1)}\le x_2, \ldots x_n <X_{\sigma(n)})\\= \mathbf{P}(X_{\sigma(0)}\le x_1)\mathbf{P}(x_1<X_{\sigma(1)}\le x_2)\ldots \mathbf{P}(x_{n-1}<X_{\sigma(n-1)}\le x_n)\mathbf{P}(x_n<X_{\sigma(n)})}\)
Następnie zauważamy, że dla dowolnych
\(\displaystyle{ a,b\in \RR, a<b}\) i dowolnego \(\displaystyle{ i\in \left\{ 0,1\ldots n\right\}}\) jest
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_i\in (a,b])=\mathbf{P}(X_{\sigma(i)}\in (a,b])}\),
gdyż \(\displaystyle{ X_i}\) mają ten sam rozkład (analogicznie dla \(\displaystyle{ (-\infty, a], \ (a,+\infty)}\)), stąd
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_0\le x_1)\mathbf{P}(x_1<X_1\le x_2)\ldots \mathbf{P}(x_{n-1}<X_{n-1}\le x_n)\mathbf{P}(x_n<X_n)\\=\mathbf{P}(X_{\sigma(0)}\le x_1)\mathbf{P}(x_1<X_{\sigma(1)}\le x_2)\ldots \mathbf{P}(x_{n-1}<X_{\sigma(n-1)}\le x_n)\mathbf{P}(x_n<X_{\sigma(n)})}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_0\le x_1, x_1<X_1\le x_2, \ldots x_n <X_n)=\mathbf{P}(X_{\sigma(0)}\le x_1, x_1<X_{\sigma(1)}\le x_2, \ldots x_n <X_{\sigma(n)})}\)
dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) ciągu \(\displaystyle{ (0,1,\ldots n)}\).

Tak naprawdę to pewnie nie wystarcza za jakiś rygorystyczny dowód, bo się trzeba powołać na jakieś czary borelololololo, ale to zdarzenie
\(\displaystyle{ X_0<X_1\ldots<X_n}\) oznacza właśnie to, że istnieją takie \(\displaystyle{ x_1, \ldots x_n\in \RR}\), iż \(\displaystyle{ X_0\le x_1, x_1<X_1\le x_2, \ldots x_{n-1}<X_{n-1}\le x_n, x_n<X_n.}\)
W każdym razie dużo chętniej napisałbym coś w stylu „oczywistym jest, że…", ale nie wiem, na ile zostałoby to odebrane jako blef.

Teraz skoro dystrybuanta wspólnego rozkładu \(\displaystyle{ X_i}\) jest ciągła, to nierówności ostre możemy zastępować nieostrymi.
Ostatecznie więc
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(X_1\le X_0, X_2\le X_0, \ldots X_{n-1}\le X_0, X_{n}>X_0)\\= \frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{n(n+1)}}\)
bo mamy \(\displaystyle{ (n+1)!}\) uporządkowań \(\displaystyle{ X_0, \ldots X_n}\), z których \(\displaystyle{ (n-1)!}\) spełnia ten warunek, że największa jest \(\displaystyle{ X_n}\), a druga największa to \(\displaystyle{ X_0}\) (po prostu pozostałe uporządkowujemy jakkolwiek).