Prawdopodobieństwo zmiennych o rozkładzie geometrycznym

[sky2829]

Czesc mam takie zadanie, może ktoś wie jak rozwiązać?
Zmienne \(\displaystyle{ X, Y}\) sa niezależne, o rozkładach
\(\displaystyle{ P(X=n) = p(1-p)^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ P(Y=n) = q(1-q)^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, . ..}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ P(X<Y )}\).

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X< Y)= \sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{P}(X< Y|Y=n)\mathbf{P}(Y=n)\\= \sum_{n=2}^{\infty}\left( \sum_{k=1}^{n-1}\mathbf{P}(X=k) \right) q(1-q)^{n-1}\\= \sum_{n=2}^{\infty}q(1-q)^{n-1}\left( \sum_{k=1}^{n-1}p(1-p)^{k-1} \right)\\=pq \sum_{n=2}^{\infty}(1-q)^{n-1} \frac{1-(1-p)^{n-1}}{p}\\=q\left( \sum_{n=2}^{\infty}(1-q)^{n-1}- \sum_{n=2}^{\infty}(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1} \right) \\=\ldots}\)
i dwa razy skorzystaj ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego.

[sky2829]

Super, bardzo dziękuje