Zmienna losowa

[Premislav]

d) Jak na mój gust odpowiedź jest z automatu negatywna, np. dlatego, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( Y\ge \frac 1 2\bigg|X\ge \frac 1 2\right) =1}\), a tymczasem
\(\displaystyle{ \int_{\frac 1 2}^{1} \int_{0}^{y}8xy\,\dd x\,\dd y= \mathbf{P}\left(Y\ge \frac 1 2\right)\neq 1}\)

[max123321]

A jak obliczasz \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( Y\ge \frac 1 2\bigg|X\ge \frac 1 2\right)}\)
?

[Premislav]

Tu za bardzo nie ma czego liczyć. Z tego indykatora w funkcji gęstości mamy, że \(\displaystyle{ X\le Y}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\), więc gdy \(\displaystyle{ X\ge \frac 1 2}\), to z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ Y\ge \frac 1 2}\).

[max123321]

Aha ok. A jak zrobić e)?

[Premislav]

e) Z definicji lecimy, sprawdzamy, czy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac X Y\le a, Y\le b\right) =\mathbf{P}\left( \frac X Y\le a\right) \mathbf{P}(Y\le b)}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in (0,1]}\).
Z któregoś poprzedniego podpunktu masz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac X Y\le a\right) =a^2}\), poza tym
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( Y\le b\right)= \int_{0}^{b} \int_{0}^{y}8xy\,\dd x\,\dd y= \int_{0}^{b} \int_{x}^{b} 8xy\,\dd y\,\dd x}\)
(to można łatwo policzyć).
Natomiast
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac X Y\le a, Y\le b\right)= \int_{0}^{b} \int_{0}^{ay }8xy\,\dd x\,\dd y}\)

[sky2829]

Cześć,
Obliczyłam podpunkt e i wyszło mi, że zmienne \(\displaystyle{ X/Y}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, ale intuicyjnie wydaje mi się to być dziwne? Czy ktoś byłby wstanie odrobinę nakreślić stojąca za tym intuicje?