Rozkład prawdopodobieństwa

[aram100]

Pracownik spóźnia się do pracy o \(\displaystyle{ i}\) minut \(\displaystyle{ S_{i}}\) gdzie \(\displaystyle{ i = 0, 1, 2, ...}\)
Przyjmując \(\displaystyle{ P( S_{i} ) = 0,5 ^{i+1}}\) oraz, że za każdą minutę spóźnienia płaci on \(\displaystyle{ 50}\) groszy, znaleźć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę karnych opłat.
Następnie obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zapłaci on \(\displaystyle{ 2}\) złote lub więcej.

Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem, nie wiem jak zrobić ten rozkład ani jak obliczyć z niego dystrybuantę

[kerajs]

Skoro \(\displaystyle{ P(S_i)= \left( \frac{1}{2} \right) ^{i-1}}\) to rozkład opłat ma postać:
\(\displaystyle{ P(X=0)= \frac{1}{2}\\
P(X= \frac{1}{2} )= \frac{1}{4}\\
P(X=1)= \frac{1}{8}\\
P(X= \frac{3}{2} )= \frac{1}{16}\\
...}\)


\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 & \text{dla} \ \ \ x<0 \\ \frac{1}{2} & \text{dla} \ \ \ 0 \le x<\frac{1}{2} \\ 1- \frac{1}{4} & \text{dla} \ \ \ \frac{1}{2} \le x<1 \\ 1- \frac{1}{8} & \text{dla} \ \ \ 1 \le x<\frac{3}{2} \\ 1- \frac{1}{16} & \text{dla} \ \ \ \frac{3}{2} \le x<2 \\ ... \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P(X \ge 2)=\frac{1}{16}}\)